Sur les équations différentielles du premier ordre

et du premier degré en -£■ •

(Comptes rendus, t. LXXXVI, p. 533: a5 février 1878. ï

70. De V emploi des solutions particulières d'une équation différentielle du premier ordre et du premier degré dans la recherche de V intégrale générale.

(Comples rendus, t. LXXXVI, p. 584; 4 mars 1878.)

71. De V emploi des solutions particulières algébriques dans V intégration d'un système d équations différentielles algébriques.

(Comptes rendus, t. LXXXVI, p. 1012; ±1 avril 1878 ,\

72. Mémoire sur les équations différentielles algébriques du premier ordre et du premier degré en -~ •

(Bulletin des Sciences mathématiques et astronomiques, 2 e série, t. II, p. 60-96, ia3-i.fi

et i5i-aoo.)

Ce travail, assez étendu, repose sur une proposition qui me parait nouvelle : Étant donnée une équation algébrique et du premier degré D. 5

en -t-> il suffit d'en connaître un nombre convenable de solutions particulières algébriques pour que l'on puisse former t intégrale générale.

J'applique cette proposition à l'étude de l'équation la plus simple après celle de Jacobi, et j'obtiens une vingtaine de formes différentes de l'intégrale générale, suivant la nature des solutions particulières qu'elle peut admettre. Ce travail me paraît donc de nature à jeter quelque jour sur un sujet dont on s'esta peine occupé dans la théorie nouvelle des fonctions : l'intégration des équations différentielles les plus

générales, celles qui contiennent à la fois x, y, -p--

J'étudie d'une manière détaillée les points singuliers de l'équation différentielle. Quelques propositions mettent en évidence l'importance de leur rôle dans tout ce qui concerne l'intégration; je signalerai la suivante, qui avait été entrevue par Euler : Le facteur dune équation différentielle* égalé à zéro, donne des solutions particulières de l'équation.

J'ajoute que, lorsqu'on n'a pas assez de solutions particulières algébriques pour composer l'intégrale générale, s'il en manque une seulement, on peut trouver un facteur.

Dans les Notes présentées à l'Académie, ces théorèmes ont été étendus aux systèmes d'équations différentielles ordinaires.