DE MÉCANIQUE ET D'ASTRONOMIE

80. Sur les séries dont le terme général dépend de deux angles et qui servent à exprimer des /onctions arbitraires entre des limites données.

(Journal de M. Liouville, a e série, t. XIX, p. i; 1874.)

Ces fonctions de deux angles sont celles que les géomètres appellent fonctionsY n ou deLaplace. Diriehlet et M. 0. Bonnet onl seuls démontré d'une manière rigoureuse la possibilité du développement d'une fonction en série de fonctions Y„. Celle que je propose a paru à M. Bertrand mériter d'être introduite dans son grand Traité de Calcul inlégral.

Ce travail contient aussi l'étude d'un développement du même genre que Diriehlet a rencontré dans la solution d'un problème relatif à la théorie de l'attraction et qui est connu sous le nom de problème de Gauss. La solution de ce problème pour la sphère avait fait l'objet d'un Mémoire de Diriehlet, publié dans le Journal de M. Liouville. Ces recherches sont si compliquées par la voie qu'il a adoptée, que le plus souvent l'illustre géomètre se contente dans son Mémoire d'indiquer la marche générale de la démonstration, en omettant plusieurs points intermédiaires; ma méthode s'applique d'une manière simple à ce cas exceptionnel, ainsi qu'à l'étude d'autres séries analogues.

81. Mémoire sur V approximation des fonctions de très grands nombres et sur une classe étendue de développements en série.

(Comptes rendus, t. LXXXII, p. 365 et \o\\ février 1876.— Journal de M. Resal,

t. IV, p. ï et 377; 1877.)

La première Partie de ce Mémoire est consacrée à l'étude d'une belle question pour la solution de laquelle Laplace a donné une méthode célèbre: l'approximation des fonctions de très grands nombres qu'on rencontre soit dans le Calcul des probabilités, soit en Mécanique célesle. La plupart des fonctions de très grands nombres entrent ou peuvent entrer comme coefficients des puissances élevées de x dans une série ordonnée suivant les puissances entières de la variable. Je montre qu'il suffit de connaître comment la fonction que représente cette série devient infinie ou discontinue pour en déduire une évaluation approchée des coefficients delà série.

J'applique celte méthode aux polynômes de Legendre, aux intégrales de Laplace, au terme général de la série de Lagrange, etc. J'indique même, dans plusieurs cas, comment on peut obtenir un nombre quelconque de termes de l'expression approchée.

La seconde Partie traite des développements ordonnés suivant les polynômes de la série hypergéométrique, plus généraux que les polynômes de Legendre. Le succès de la méthode tient à ce que l'on peut trouver et représenter par une intégrale définie la somme des n premiers termes. Je montre que cette circonstance se présentera toutes les fois que les fonctions suivant lesquelles on développe formeront une suite deSturm, c'est-à-dire lorsque trois fonctions consécutives seront liées par une équation de la forme

a a V/ï-h H- [fax -h y n ) Vn +■ in V*f = O,

où #„, ..., <$ a sont des constantes (il est clair que ces fonctions seront alors nécessairement des polynômes).

L'étude détaillée des développements précédents m'a conduit à quelques résultats qui ne se présentent pas dans la théorie des séries

trigonométriques. Par exemple, la fonction (# — i)" ne serait pas

( :i 9 ) développable en une série convergente de fonctions X„, quoique les intégrales qui déterminent les coefficients de la série aient alors un sens déterminé.

82. Sur des transcendantes qui jouent un rôle important dans la théorie des perturbations planétaires.

(Comptes rendus , t. XC, p. i {16 et 1472; juin 1880.)

J'applique les méthodes que j'ai proposées pour l'approximation des fonctions de grands nombres à des transcendantes considérées par M. Tisserand et dont M. Callandreau avait déterminé une première approximation. Les formules à plusieurs termes que je fais connaître donnent, dans plusieurs cas, une approximation qu'on n'aurait pas osé espérer et qui pourrait presque permettre de les employer pour le calcul numérique.

83. Sur V application des méthodes de la Physique mathématique

à V étude des corps terminés par des cyclides.

(Comptes rendus, t. LXXXI1I, p. 1037 et 1099; novembre 1876.)

M. A. Wangerin a montré le premier que le système des cyclides homofocales, qui a tant d'analogie avec le système des surfaces homofocales du second degré, peut aussi être employé en Physique mathématique et se prête dans une certaine mesure à la généralisation des méthodes de Lamé, en fournissant une infinité de solutions nouvelles de l'équation de la chaleur. C'est ce résultat que je démontre et que j'étends par une méthode très simple au système orthogonal le plus général formé de cyclides.

84. Etude sur la réduction d'un système de forces, de grandeurs et de directions constantes agissant en des points déterminés d'un corps solide, quand ce corps cliange de direction dans V espace.

(Comptes rendus, t. LXXX11I, p. 1284; décembre 1876.)

85. Mémoire sur l'équilibre asiatique et sur V effet que peuvent produire des forces de grandeurs et de directions constantes appliquées en des points déterminés d'un corps solide, quand ce corps change de position dans l'espace (Paris, Gauthier- Villars, 1877).

( Mémoires de la Société des Sciences physiques el naturelles de Bordeaux» a* série, t. II, 1877.)

Cet Opuscule de 68 pages traite d'une question intéressante qui a été étudiée d'abord par Môbius, dans son beau Traité de Statique. Considérons des forces de grandeurs et de directions données agissant en des points déterminés d'un corps solide. Si le corps se déplace ou tourne, les forces demeurant appliquées aux mêmes points du corps et conservant leurs grandeurs et leurs directions primitives, leur effet sur le corps changera évidemment. Par exemple, si le corps était en équilibre dans sa position primitive, il pourra cesser de l'être dans sa nouvelle position.

Le travail actuel contient la démonstration des propositions connues datas cet ordre de recherches et celle de plusieurs propriétés qui me paraissent entièrement nouvelles. Je citerai d'abord la recherche de toutes les positions dans lesquelles sera en équilibre un corps soumis à un système de forces dont la résultante générale est nulle. Môbius croyait que si l'équilibre a lieu dans quatre positions, il subsiste dans toutes les autres; je montre au contraire qu'il y a toujours quatre orientations du corps pour lesquelles les forces se font équilibre et qu'il peut y en avoir un plus grand nombre; j'introduis la notion d'un ellipsoïde central qui jouit de nombreuses propriétés géométriques. Enfin, je montre que si Ton considère dans toutes les positionsdu corps Taxe central des moments, cet axe appartient à un complexe du second ordre dont les droites sont l'intersection de deux plans rectangulaires, tangents respectivement a deux coniques, focales l'une de l'autre. Je retrouve comme cas particulier un beau théorème de Minding : Quand les forces ont une résultante générale, elle va rencontrer les deux coniques précédentes.

Ce travail a été pris pour guide par M. Schell dans la nouvelle édition de son Traité de Mécanique. En dehors de leur intérêt théorique, les propositions que j'ai développées sont susceptibles d'applications importantes à l'étude des appareils de Physique et a celle de la boussole.