Sur la représentation sphèrique des surfaces

(Comptes rendus, t. XCIV, p. 120, c58, 1290, i343; 16 janvier, 23 janvier, 8 mai,

1 > mai 1882.)

On se rappelle le rôle important que joue dans le célèbre Mémoire de Gauss la représentation sphèrique des différentes régions d'une surface. Si, par le centre d'une sphère de rayon 1, on mène la parallèle à la normale d'une surface, cette parallèle vient couper la sphère en un point qui sert de représentation au pied de la normale. Dans le mode de correspondance ainsi établi entre la surface et la sphère, à une courbe correspond une courbe, a une région continue de la surface une région continue de la sphère. Les deux systèmes de lignes de courbure de la surface ont pour représentation deux familles de lignes sphériques orthogonales.

Dans ses recherches sur les surfaces à lignes de courbure planes, M. Ossian Bonnet a mis en évidence tout le parti que l'on peut tirer de la notion fondamentale introduite par Gauss. En 1869 { vo ^ r ^ e n ° 9)» j'ai commencé à étudier d'une manière générale le problème de la représentation sphèrique, que l'on peut formuler comme il suit :

Trouver toutes les surfaces admettant un système de lignes sphériques orthogonales données pour représentation de leurs lignes de courbure.

Ce problème dépend d'une équation linéaire et, par conséquent, on

pourra toujours déduire des solutions particulières que Ton trouvera une solution plus générale contenant autant de constantes arbitraires qu'il y a de solutions particulières connues. Sa solution complète ou partielle offre évidemment l'avantage de faire connaître des surfaces dont on peut déterminer les lignes de courbure. A ce point de vue, il présente déjà un réel intérêt, mais, de plus, les recherches entreprises depuis 1869 par différents géomètres ont montré que beaucoup d'autres problèmes de la Géométrie infinitésimale se ramènent k la recherche des surfaces ayant même représentation sphérique qu'une surface donnée (voir plus loin n° 108). Dans les Communications dont je m'occupe ici, j'ai commencé par énoncer la proposition suivante :

Étant donnée une équation aux dérivées partielles de la forme

d*0 4 de de nA

où A, B, C sont des/onctions de p, p, si l'on peut trouver quatre solutions de cette équation u, r, tv, p liées par la relation

les équations

/ox U V W

définiront un système de lignes sphériques orthogonales p = const. , o, = const., et la surface la plus générale dont les lignes de courbure auront ce système pour image sphérique sera V enveloppe du plan

//X-h vY-\- h'Zh-P.= o,

où P est r intégrale générale de l'équation (1).

Je montre d'abord que cette proposition entraîne le corollaire suivant :

Lorsqu'on saura résoudre le problème de la représentation sphérique pour un système donné de lignes sphériques orthogonales, on saura aussi le résoudre pour tous les systèmes que l'on en déduit par une inversion quelconque.

Enfin, j'établis que cette même proposition permet de déterminer

(5a) dans un nombre illimité de cas nouveaux toutes les surfaces ayant une représentation sphérique donnée. Dans cette première série de Communications, je me suis contenté d'examiner les cas où la représentation sphérique est formée par un système orthogonal et isotherme, parce qu'on est ainsi conduit à des problèmes d'Analyse qui m'ont paru mériter une étude approfondie (twn os 119, 120, 121).