Sur une propriété du cercle

(Comptes rendus, t. XCIV, p. 1108; 17 avril 188a.)

Ces deux Notes contiennent des propriétés générales de certaines courbes unicursales qu'on peut définir comme il suit : elles sont d'une classe quelconque m et elles admettent la droite de l'infini pour tangente multiple d'ordre m — - 1 ou bien elles l'admettent comme tangente d'ordre m — 2, mais alors elles coupent cette droite aux deux points qui appartiennent à tous les cercles. Je signalerai seulement ces deux propositions. La première :

Toute courbe de n ième classe admettant la droite de V infini pour tangente d'ordre m — 1 jouit de la propriété que deux quelconques de ses tangentes interceptent sur n tangentes fixes des segments entre lesquels il existe une relation linéaire à coefficients constants

généralise une propriété de la parabole. La deuxième :

Si Von considère n couples de droites et une droite variable qui forme avec les n couples des triangles dont les périmètres ont une somme constante, cette droite variable enveloppera une courbe unicursale qui conservera la même définition quand on substituera aux couples primitifs d'autres couples convenablement choisis

généralise une propriété bien connue du cercle. Le cercle est la courbe correspondante à un seul couple de droites.

Au nombre des courbes unicursales auxquelles s'appliquent les propositions précédentes, je citerai l'hypocycloïde à trois rebroussements, l'enveloppe d'une droite de longueur constante dont les extrémités décrivent deux droites, l'hypercycle de M. Laguerre, etc.