Sur les équations aux dérivées partielles

(Comptes rendus, t. XCVI, p. 766; 19 mars r883.)

Soit donnée une équation aux dérivées partielles définissant une fonction z de plusieurs variables indépendantes. Si l'on y remplace z par tz\ qu'on développe suivant les puissances de e et qu'on égale à zéro le coefficient de s, on aura une équation linéaire par rapport à z\ que j'appelle V équation auxiliaire, et dont la considération joue un grand rôle dans la théorie de l'équation proposée. Elle détermine, on le voit, les solutions de l'équation infiniment voisines d'une solution donnée. J'étudie cette équation dans les deux problèmes de Géométrie suivants :

Étant donnée une surface (2), cherchons toutes les surfaces infiniment voisines qui formeraient avec (-2) une famille d'un système triple orthogonal. Ce problème équivaut a l'un quelconque des deux suivants :

Trouver toutes les surfaces admettant la même représentation sphérique que la surface (2),

ou bien

Trouver tous les systèmes de cercles normaux à une famille de surfaces dont fait partie la surface (2).

Il résulte immédiatement de ce rapprochement que, si l'on sait résoudre l'un de ces deux problèmes pour une surface (2), on saura le résoudre aussi pour les surfaces transformées par rayons vecteurs réciproques de (2). Et de la découle une solution nouvelle et complète, purement géométrique, du problème de la représentation sphérique, solution que j'avais déjà obtenue par l'Analyse (voirn? 107 ).

Le deuxième problème auquel s'applique la méthode précédente est

la recherche des surfaces applicables sur une surface donnée. Parmi les résultats obtenus, je citerai seulement le suivant :

Considérons trois fonctions de a, A, A',, A 2 , et trois fonctions de £, B, B,, B 2 , liées par les relations

À'-hAÎ-hA^-c, B*+B» hBJ= £ ,

où £ désigne Tune des constantes i ou zéro.

Les surfaces définies par les formules suivantes :

; J - = A,B J -A 1 B l H-/(A s rf\ l -AirfA i ) H/(B,rfB,- B.tfB, ,, jj = A,B -AB, -+-/(A</V, -A,</A) + f(\l È d\\ - Br/B,), ' z = AB, -A Â B +/(A,</A - Ar/A,) 4-/(BrfB, — B.rfB)

sont toutes applicables les unes sur les autres et sur une surface de révolution.

Ce sont les développées des surfaces minima si e — b.

Elles sont toutes applicables sur le paraboloïde de révolution si t = i .

109. Détermination dune classe particulière de surfaces à lignes de courbure planes dans un système et isothermes.

(Comptes rendus, t. XCVI, p. 1202 et 1294; 23 et 3o avril i883. — Bulletin des Sciences

mathématiques, t. VII, p. 257-276; septembre i883.)

En entreprenant l'étude de cette question, j'étais assuré de trouver comme solutions du problème posé, en dehors des surfaces de révolution, certaines surfaces particulières à courbure moyenne constante, étudiées dans ces derniers temps par M. Voretzsch. Les surfaces cherchées devaient satisfaire à deux équations aux dérivées partielles, Tune du troisième, l'autre du quatrième ordre; il se trouve que ces deux équations ont une solution commune d'une grande généralité, puisqu'elle contient deux constantes et une fonction arbitraire. J'ai poursuivi jusqu'au bout les calculs relatifs à la détermination des surfaces ainsi obtenues, parce qu'ils offrent une intéressante application de la

belle théorie des fonctions doublement périodiques de seconde espèce D. 8

que nous devons à M. Hermite. J'indique à la fin de mon travail la génération de toutes les surfaces trouvées.

1 10. Sur les surfaces dont la courbure totale est constante.

(Comptes rendus, t. XCVI, p. 848 et 892; 1 5 et 22 octobre i883.)