Sur V équation aux dérivées partielles des surfaces

à courbure constante.

(Comptes rendus, t. XCVI, p. 946; 29 octobre 1 883.)

Ces trois Notes contiennent, en même temps que la démonstration géométrique de quelques résultats déjà connus, des propositions nouvelles et l'étude approfondie d'une méthode due à M. Bianchi et permettant de faire dériver d'une surface à courbure constante donnée une suite illimitée de surfaces de même nature. M. Lie a montré que l'application de cette méthode exigeait seulement une série de quadratures ; mais ces quadratures introduisaient un nombre de constantes de plus en plus grand, et ces constantes figuraient aussi bien dans les numérateurs que dans les dénominateurs des expressions trouvées. L'application de la méthode semblait donc devoir être promptement arrêtée par l'impossibilité d'exécuter les quadratures successives qu'elle exige. Je montre, au contraire, qu'il suffira d'effectuer au début un certain nombre de quadratures, inférieur d'une unité au nombre des surfaces nouvelles qu'il s'agit d'obtenir, portant sur des fonctions parfaitement déterminées des deux variables indépendantes; et, ces quadratures une fois effectuées, l'application de la méthode n'exige que les calculs algébriques les plus élémentaires, sans aucune intégration.

1 12. Sur les lignes asymptotiques de la surface des ondes.

(Comptes rendus, t. XCVI, p. 1039; 12 novembre i883.)

Je considère dans cette Note une classe de surfaces comprenant, comme cas particulier, la surface des ondes et dont on peut déterminer

les lignes asymptotiques. Les résultats analytiques obtenus sont interprétés par la Géométrie, et je donne, en particulier, deux expressions simples de la somme et du produit des rayons de courbure en un point quelconque de la surface des ondes.

1 13. Sur les lignes de courbure de la surface des ondes.

(Comptes rendus, t. XCVI, p. 1 1 33 ; 19 novembre i883.)

A la suite d'une remarque faite par M. Bertrand dans les Comptes rendus, ces lignes ont été l'objet d'un certain nombre de recherches. Je les détermine dans les cas où la surface des ondes est très peu différente d'une sphère et dans celui où elle se réduit à l'apsidale d'un cylindre. Cette recherche me conduit à la proposition suivante :

Dans le cas général, les lignes de courbure de la surface des ondes ne sont certainement pas algébriques et d'un degré déterminé.

Leur intégration, si elle est jamais effectuée, ne pourra l'être que par l'emploi de transcendantes compliquées.

Ma Communication contient au commencement quelques propositions sur la forme des lignes de courbure d'une surface quelconque dans le voisinage d'un ombilic.