TRAVAUX D'ANALYSE PIRE

1 14. Sur les différentielles successives des fonctions de plusieurs, variables indépendantes.

(Comptes rendus, t. XCIII, p. na3; 26 décembre 1881.)

Ho. Sur les différentielles successives des fonctions de plusieurs variables et sur une propriété des fonctions algébriques.

(Comptes rendus, t. XCIV, p. 575; 27 février 1882.)

116. Sur les différentielles des fonctions de plusieurs variables

indépendantes .

(Bulletin des Sciences mathématiques, t. V, p. 376-384 et 3g5-42f .)

Dans son Cours d'Analyse de V École Polytechnique, p. 64, M. Hermite a remarqué que, si l'on développe le radical

\/\ -h 2olx -+• 2%' y -h §x % -h $ xy -+- fT y A

suivant les puissances de x et de y, le groupe homogène des termes du second degré dans le développement de ce radical entre comme facteur dans le groupe homogène des termes du troisième degré et des degrés plus élevés. Cette curieuse propriété, qui est en quelque sorte la traduction analytique de l'existence de deux systèmes de génératrices rectilignes dans les surfaces du second degré, peut encore s'énon-

( 59) cer comme il suit : Si l'on considère la fonction

où ç(a?, y) est un polynôme du second degré, et que Ton développe f(x -h dx, y -f- dy) suivant les puissances de dx, dy par la formule

f(x -h dx, y 4- dy) = f(x, y) + <//-+- \d*f-h . . . ,

rf 3 /, rf 1 /, .. . sont exactement divisibles par d*f, quelles que soient les différentielles dx, dy. En analysant cette proposition si remarquable, on la réduit d'abord à sa forme la plus simple, et il suffit, on le reconnaît aisément, que d*f$o\t divisible par rf a /pour que la même propriété appartienne encore à toutes les différentielles suivantes. J'ai été ainsi conduit à étudier d'une manière générale le problème suivant :

Trouver toutes les Jonctions de \l variables x i9 . . . , x^ pour lesquelles la différentielle (n -+- \) ième est exactement divisible par la différentielle n lème 9 c* est-à-dire pour lesquelles on a

d n + l f= (A t dx l -+-... -+- An dj^)d n / 9

quelles que soient les différentielles dx t9 . . . , dx^.

La solution complète de ce problème difficile se trouve dans mon travail.

Les valeurs de /correspondantes sont les suivantes :

,|v f r (X\ f » . . , Xy.)

F désignant un polynôme d'ordre n et P une fonction linéaire des vari an les x ^ , . • • , Xu. \