IV. — Quartiques planes

20. On sait qu’il existe soixante-trois systèmes, simplement infini chacun, de coniques quadritangentes a la courbe plane d’ordre quatre sans point singulier : je montre, dans le Mémoire 13, que deux de ces systèmes jouent, vis-à-vis l’un de l’autre, deux rôles différents selon la nature des coniques décomposées (couples de bitangentes) qu’ils renferment.

Dans tes deux cas. — Toute cubique menée par les huit points de contact de deux coniques de systèmes différents coupe la quartique en quatre points nouveaux, qui sont les points de contact d’une conique quadritangente d’un troisième système; inversement, les douze points de contact de trois coniques, C,, Cj, Cj, appartenant respectivement à ces trois systèmes sont sur une cubique, 2.

Dans le premier cas. — Les trois coniques C,, Cj, Cj sont doublement tangentes à une même conique, et les six points de contact sont sur la cubique £.

Dans le second eus. — Les trois coniques C|,C.,Ci, prises deux à deux, ont douze points d’intersection, parmi lesquels trois sont en ligne droite et sont situés sur la cubique 2.

21. Ces résultats sont obtenus par une méthode purement algébrique, qui dérive de mes recherches sur la surface de Kumraer; on verra plus loin (n" 72) l’analyse d’un autre travail, où je rattache les courbes du quatrième ordre (ou de quatrième classe), à une intéressante surface du sixième degré, liée elle-même aux fonctions abéliennes de trois variables.