III. — Courbes algébriques planes rectifiables

18. Le Mémoire 11 et la Note 12 ont pour objet la solution du problème suivant :

Déterminer toutes les courbes algébriques planes dont l’arc est une. fonction : t” algébrique ; 1“ rationnelle des coordonnées.

La première partie ne présente aucune difficulté ; il est clair que les courbes d'arc algébrique sont les développées des courbes algébriques planes; les courbes d’arc rationnel offrent plus d’intérêt, et j’arrive, en m’appuyant sur des résultats de Laguerre, à cette proposition simple ;

Les courbes algébriques planes dont l’arc s'exprime rationnellement en fonction des coordonnées sont les caustiques par réflexion des courbes algébriques planes, pour des rayons incidents parallèles, et réciproque-

La réciproque, toutefois, souffre une exception lorsqu’on peut mener à la courbe réfléchissante deux tangentes rectangulaires, de tous les points d’une droite normale aux rayons lumineux.

19. A litre d’exemple : les épicycloïdes ou hypocycloides algébriques dont l’arc est rationnel s’obtiennent en prenant, comme rapport du rayon du cercle mobile au rayon du cercle fixe, une fraction irréductible, de dénominateur pair.

L’hypocycloïde à quatre rebroussements appartient à cette classe ; j’établis qu’elle est la caustique par réflexion de l’hypocycloïde à trois rebroussements pour des rayons parallèles à un des axes de symétrie de celle-ci.

Pour une courbe d’arc rationnel, de genre supérieur à zéro et d’ordre n, l’expression de l’arc, en fonction des coordonnées x, y, de son extrémité mobile, est de la forme

C(x,y) désignant le premier membre de l’équation d’une courbe adjointe quelconque d’ordre n - 3, et V(æ,y) le premier membre de l’équation d’une adjointe d’ordre n —2, passant par les points où C = 0 coupe la proposée.