V. — Sujets divers

22. Le Mémoire 14 donne une interprétation géométrique simple de Véquation modulaire pour la transformation du troisième ordre des fonctions elliptiques.

Soit une cubique plane unicursale quelconque; les quatre tangentes qu’on peut lui mener d’un point arbitraire la coupent de nouveau en quatre points : le rapport anharmonique des droites qui joignent à ces quatre points le point double de la cubique et le rapport anharmpnique des quatre tangentes primitives sont liés par l’équation modulaire de la transformation du troisième ordre.

Cette équation est, en désignant par p et u les deux rapports consi-

v'^ + î/(i-p)(i-v) = i; je vérifie directement ce résultat pour la cubique ^•H-31>x7= + 3a:> + j>=o,

ce qui me donne, pour p et a, ces expressions rationnelles, satisfaisant à l’équation modulaire ci-dessus :

L’équation modulaire entre p et a, c’est-à-dire entre les F et k\ de Legendre, est donc de genre zéro.

La Note 14 indique une interprétation géométrique différente pour l’équation modulaire générale, à l’aide des polygones de Poncelet.

23. Enfin, en appelant sommets doubles dans une série de polygones de Poncelet ceux dos quatre polygones de la série qui sont repliés sur eux-mêmes, en excluant toutefois certains sommets bien définis, j’établis (15) que :

Le centre harmonique des sommets d'un polygone quelconque de b. série par rapport à une droite donnée est un point fixe, si cette droite contient deux sommets doubles.