I. — Formules analytiques

24. La première formule relative au théorème d’Abel, et qui revient d’ailleurs dans certains cas à une formule antérieurement connue, est établie, sous différentes formes, dans les Mémoires 17 et 18; elle peut être présentée ainsi ;

Soit G une courbe plane ou gauche; on considère une intégrale abélienne quelconque, I, appartenant à la courbe, et mise sous forme homogène

et l’on coupe la courbe C par un système de surfaces 4>(o;,y,ï, (, «) = o,

dépendant algébriquement d’un paramètre u :

La somme des intégrales ï dont les limites inférieures et supérieures sont respectivement les points d’intersection de la courbe C avec deux surfaces du système 0, correspondant aux valeurs «, et u du paramètre, a DOur expression

ll^f\lr)du,

Sr désignant la somme des résidus, par rapport aux zéros de S, de la fonction

où x,y, Z, t désignent les coordonnées d’un point do C exprimées en

fonction (M^ta/ucAsienne par exemple) d’une même variable; æ' et ( sont les dérivées de oc et l.

La formule s’applique même au cas où les polynômes Q et S contiennent le paramètre u. ,

Pour le calcul des résidus, il n’est pas nécessaire de connaître explicitement les expressions de oc,y, z, t en fonction d’une variable; la formule n’introduit en effet que des éléments géométriques de la courbe C.

Une conséquence importante est la suivante :

La somme des intégrales I, dorU les limites inférieures et supérieures sont respectivement les points d’intersection de la courbe C avec deux surfaces quelconques de même ordre, est nulle, si, parmi les surfaces du faisceau déterminé par les deux surfaces sécantes, il en est une. S, qui passe par tous les points de la courbe C rendant l’intégrale infinie : quand un point est un infini d’ordre h pour la quantité sous le signe f, la surface S doit avoir au même point, avec C, un contact d’ordre h — i.

Parmi d’autres corollaires analogues, s’appliquant, en particulier, aux intégrales de seconde espèce, on peut en signaler un, que j’ai d’ailleurs établi (20) par une méthode élémentaire ;

La somme des valeurs que prend une fonction rationnelle des coordonnées, homogène et de degré zéro Q,{x, y, z) ; V {x, y, z), aux points communs à une courbe plane / = o et à chacune des courbes d'un faisceau ponctuel, reste constante, si les courbes du faisceau qui passent respectivement par les points d’intersection des courbes /= o, V = o, rendant Q ; V infini, ont en chacun de ces points, avec f, un contact d’un ordre au moins égal à la différence des ordres des contacts entre la courbe f et les courbes 'S et Q, au même point.

Si la courbe Q = o ne passe pas par le point considéré, l’ordre de son contact avec/sera regardé comme égal à — i.

Des propositions de même nature s’appliquent à l’espace (18).

25. Sommes de Jacobi. — Une autre série de formules se rapporte à l’expression de sommes remarquables ; étant données, en coordonnées cartésiennes, trois surfaces, d’ordres m, n, p, si l’on désigne par A

leur jâcobien et si Q(!ç, y, s) est un polynôme d’ordre m+ n+p — if au plus, Liouville et Clebsch ont montré que la somme

lî’

étendue aux points communs aux trois surfaces, est nulle, et Jacobi avait établi le théorème correspondant pour le plan. Or, du théorème de Jacobi, Clebsch a déduit une démonstration du théorème d'Abel dans le cas des intégrales de première espèce ; celte liaison entre les deux propositions m’a fait penser qu’on pourrait sans doute, à l’aide de l’expression générale indiquée plus haut pour le théorème d’Abel, arriver à évaluer la somme S, lorsque le degré du polynôme Q dépasse m + n+p — if. C’est en effet ce que j’ai pu faire et j’ai donné une formule qui ramène la somme cherchée à une autre, étendue seulement aux points situés à l’infini sur la courbe d’intersection de deux des trois surfaces proposées.

Par exemple, si Q est d’ordre m -i- n -t-;; — 3, la somme cherchée a pour expression, en désignant par/= o, tp = o, tfi = o les équations des trois surfaces primitives

la nouvelle somme s’étendant aux points à l’infini de la courbe/= o, cp = O. On voit ainsi que la somme S ne dépend que des termes des degrés les plus élevés dans les polynômes Q, /, 9 et iji; de plus, la manière dont elle dépend dès coefficients du polynôme est mise nettement en évidence. Il va sans dire qu’on obtient pour S deux autres expressions analogues en permutant/, 9 et iji.

Si le degré de Q dépasse «1 -t- n -1-/) - 3, la formule est analogue, bien qu’un peu plus compliquée.

Enfin des formules de même nature expriment les sommes plus générales où Q est une fonelion rationnelle ; on comprendra l’intérêt de ces résultats, si l’on remarque que les sommes considérées s’introduisent quand on cherche à étendPe le théorème d’Abel aux intégrales multiples.

C’est ainsi quej’ai été conduit, relativement aux intégrales doubles.

à des théorèmes dé même nature que ceux rappelés plus haut poulies intégrales simples; par exemple :

1° La somme algébrique des valeurs que prend une intégrale double ahèlienne, appartenant à une surface algébrique S, dans les polygones curvilignes découpés sur cette surface par deux surfaces quelconques d'un premier faisceau ponctuel et deux surfaces quelconques d'un deuxième faisceau, est égaleànéro, s’il existe une surface S, forméepar l’ensemble d'une surface du premier faisceau et d’une surface du second, passant par tous les points de la surface primitive S, qui rendent l’élément de l'intégrale infini; de plus 2 doit avoir avec S, en tout point de cette surface qui est un infini dordre lpour télément de l’intégrale, un contact

2" La somme algébrique des valeurs que prend une intégrale double abéUenne appartenant à une surface algébrique. S, dans les polygones découpés sur cette surface par deux surfaces quelconques d’un premier faisceau $, + h = o, et deux surfaces quelconques d’un deuxième faisceau ■¥, + r Fj = o, «( une fonction entière du paramètre u, et une fonction rationnelle et logarithmique du paramètre v, si la surface — o du premier faisceau passe par tous les points de S qui rendent l’élément de l’intégrale infini.

Si la surface W, = o, du second faisceau, satisfait également à la même condition, la somme précédente est une fonction entière des deux paramètres uetv.

La plupart des résultats géométriques qui suivent sont des applications de ces formules ou propositions.