III. — Propriétés angulaires

27. Elles se rattachent à la notion d’orientation dans le plan, due à Laguerre : deux systèmes de n droites ont même orientation lorsque la somme des angles que font les n droites avec un axe fixe est la même pour les deux systèmes, à un multiple près de it.

Je donne à ce sujet (23, 24) un théorème fondamental :

Pour qu'un système de n droites, variable algébriquement, garde une orientation fixe, il faut et il suffit que, lorsqu'une ou plusieurs droites du système viennent à passer par un des points cycliques du plan, d’autres droites du système, en même nombre,passent au même instant par l’autre point cyclique.

Voici quelques conséquences t

J.es systèmes de tàngèntes menées d’un point h deux courbes de

même classe ont même orientation si le point est foyer d’une des courbes du faisceau tangentiel déterminé par les deux premières, et réciproquement.

Cette propriété définit d’une manière simple le lieu des foyers des courbes d’un faisceau tangentiel, déterminé par deux courbes A et B, de classe n : si l’on joint un point du lieu aux n foyers réels de A et aux n foyers réels de B, les deux systèmes de droites ont même orientation. On retrouve ainsi, à un point de vue différent, des courbes remarquables rencontrées par M. Darboux. De plus :

Le centre harmonique, par rapport à un point du plan, des n foyers réels d'une courbe, cariable dans un faisceau tangentiel, décrit un cercle.

28. A cet ordre d’idées se rattache un problème intéressant :

Trouver, si elles existent, toutes les courbes algébriques, telles que le

système des tangentes qu'on peut mener d’un point à l’une d’elles ait une orientation fixe, indépendante de la position du point dans le plan.

Je montre que ces courbes sont celles qui n’ont pas de foyer à distance finie; leur équation, en coordonnées tangentielles rectangulaires, est

et F„ étant des polynômes homogènes quelconques, de degré marqué par l’indice. Dans cette catégorie rentrent toutes les hypocycloîdes algébriques obtenues en faisant rouler un cercle à l’intérieur d’un cercle plus grand; et, en particulier, l’hypocycloïde à trois rebroussements, dont j’ai fait, à ce point de vue, une étude assez complète.

Si, par un point M du plan, on mène les tangentes à une de ces courbes, le centre harmonique des points de contact par rapporta M coïncide avec

29. Toutes ces propriétés d’orientation ne semblent pas pouvoir s’étendre à l’espace d’une manière simple; je citerai seulement deux résultats :

1° Soit un faisceau tangentiel de surfaces de classe n : il existe des

droites jouissant de celte propriété que rdriéntation du système des n plans tangents, menés par l’unè d’elles à une surface du faisceau, demeure fixe quand la surface varie ; ces droites forment un complexe d’ordre 2 n — [.

La surface des singularités du complexe est le lieu des lignes focales des surfaces du faisceau; les droites singulières sont les tangentes de ces focales.

2“ Si une surface algébrique a toutes ses focales à l’infini, c’està-dire si son équation en coordonnées tangentielles rectangulaires est du type

l’orientation des n plans tangents qu’on peut lui mener par une droite quelconque est la même que celle des n plans, menés parla droite parallèlement à n directions fixes.