IV. — Arcs des courbes de direction

30. Les courbes de direction sont, d’après Laguerre, les enveloppes de droites ayant un sens déterminé; leur équation générale, en coordonnées tangentielles rectangulaires, est «’-l-v“ = R‘(a, v), R étant une fonction rationnelle de u et v.

L’arc d’une telle courbe s’exprime par une intégrale abélienne appartenant à la courbe; les formules du théorème d’Abel s’appliquent donc immédiatement à l’expression de la somme des arcs interceptés, par deux courbes quelconques de même degré, sur une courbe de direction fixe.

Le Mémoire 17, après quelques généralités sur les courbes de direction, contient la détermination des lignes de direction du troisième degré : ce sont les courbes représentées en coordonnées polaires, par les équations

l’application des formules générales donne ensuite, relativement aux arcs, de très nombreux résultats dont voici les plus saillants :

31. Sur une courbe de direction n’ayant que des asymptotes distinctes, non isotropes, la somme algébrique des arcs interceptés par deux courbes quelconques d'un même degré est égalé à la somme des segments que ces courbes interceptent sur les asymptotes de la proposée.

Ce théorème s’applique, par exemple, aux courbes

Sur une courbe de direction d’ordre in, admettant comme point multiple d’ordre n, à tangentes distinctes, chacun des deux points cycliques du plan, la somme des arcs interceptés par deux courbes quelconques d’un même degre est égale à la somme des arcs que ces courbes interceptent sur n cercles, liés invariablement à la proposée.

Ce dernier théorème, lorsque les courbes sécantes sont deux droites, généralisé une des propriétés fondamentales du cercle, celle de la mesure des angles ;

Lm somme algébrique des arcs interceptés sur la courbe de direction précédente par les deux côtés d’un angle est proportionnelle à la gran-

32. Parmi les courbes de direction, ii en est de particulièrement remarquables : en cherchant, en effet, à déterminer les courbes algébriques sur lesquelles l’arc est une intégrale abélienne de première espèce, j’ai trouvé que ce sont les courbes de direction n’ayant pas d’autre point à l’infini que les points circulaires; il faut et il suffit, de plus, qu’en chacun de ces deux points multiples, suivant la terminologie connue d’Halphen, la courbe ne présente que des cycles dont la classe surpasse l’ordre ('). Par exemple, si les tangentes aux points

circulaires sont distinctes, chacune d’elles devra être tangente d'inflexion pour la branche correspondante.

Sur une de ces courbes remarquables, deux courbes quelconques d’un mtme degré interceptent des arcs dont la somme algébrique est nulle.

On ne rencontre pas de courbe de cette nature avant le sixième degré; la plus simple a pour équation polaire p* = a’cos3(o, les courbes

appartiennent à la même catégorie, si n désigne un entier impair, supérieur à 3, ou une fraction de la forme joétant entier, positif et supérieur à l'entier positif q.

La courbe p* = fl* cosSm est de genre un; son arc est donc l’intégrale elliptique de première espèce correspondante : W. Roberts avait déjà observé que l’arc s’exprime par une intégrale elliptique de première espèce, mais sans remarquer que cette intégrale appartient à la courbe.

33. Le Mémoire 17 contient quelques propriétés relatives aux centres de gravité des arcs des courbes de direction; en voici une, à titre d’exemple :

Les arcs interceptés sur une courbe de direction par deux courbes quelconques d'un même degré ont une somme algébrique nulle, et le centre de gravité des arcs positifs coïncide avec celui des arcs négatifs, si ta courbe de direction considérée n 'a pas d'autres points à l'infini que tes points

Dans un autre ordre d’idées, les courbes de direction donnent lieu à ce théorème ;

Toute ligne de courbure plane, non multiple, d'une surface algébrique est une courbe de direction, lorsque l'angle, nécessairement constant, sous lequel son plan coupe la surface n’est ni nul ni droit.