V. — Aires sphériques

34. Voici les deux résultats fondamentaux sur cette question (18) ;

Soient deux surfaces quelconques de même ordrep, et deux autres surfaces de même ordre q : ta somme algébrique des o.pq aires que ce système découpe sur une sphère de rayon R est égale à îpRcf ; p étant un coefficient dépendant uniquement du système des quatre surfaces primitives, et d désignant ta distance du centre de la sphère à un plan lté invariablemen t à ce système.

Un système, composé de deux surfaces quelconques de même ordre et de deux autres surfaces asymptotiques entre elles, découpe sur une sphère des aires dont la somme algébrique reste fixe pour toutes les positions de la sphère dans l’espace : elle est égale au produit du rayon par un paramétre qui dépend uniquement des surfaces primitives.

Ce paramètre est d’ailleurs nul si les deux premières surfaces sont asymptotiques entre elles, ou si les deux secondes, au lieu d’être asymptotiques, sont asymptotes ; par asymptotiques, j’entends des surfaces qui ont mêmes points à l’infini; par asymptotes, des surfaces qui ont mêmes points à l’infini et mêmes plans tangents en ces points.

33. On comprend, sans qu’il soit utile d’en donner des exemples, à quelles variétés d’applications se prêtent ces deux théorèmes généraux; par une méthode élémentaire (26, 27, 28) j’ai établi dos propositions de même nature, qui constituent l’extension à la sphère de la propriété si simple et si remarquable que présente la circonférence de cercle pour la mesure des angles situés dans son plan : la différence (ou la somme) des arcs interceptés par les deux côtés d’un angle a sur une circonférence de rayon R est égale à aRa. Dans l’espace, ce

théorème n’est pas applicable sans modification à la différence des aires que découpe, sur une sphère, un angle solide ou un cône rencontrant cette surface suivant deux courbes fermées : la différence en question n’est pas seulement fonction du rayon de la sphère et de la forme du cône; mais il suffît, pour l’exprimer, d'introduire un nouvel élément, la distance du centre de la sphère à un plan passant par le sommet du cône et lié invariablement à ce cône. Donnons l’énoncé exact de la proposition :

36. Un cône découpe, sur une sphere concentrique de rayon un, deux aires symétriques; appelons plan d'orientalion du cône le plan mené par le sommet normalement à la droite qui joint les centres de gravité de ces deux aires, et module le produit de la distance des deux centres de gravité par la valeur de l’angle conique.

La différence des deux aires que découpe, sur une sphère de. rayon H, un cône, dont toutes les génératrices coupent la sphère, est égale à npRrf, P étant le module du cône et d la distance du centre de la sphère au plan

L’application aux angles polyèdres et aux cônes du second ordre donne des résultats intéressants.

Le plan d’orientation et le module d’un angle trièdre se déterminent simplement ; il suffit d’élever au sommet, sur chacune des faces et vers l’extérieur du trièdre, une normale égale à l’angle de la face, et de composer comme des forces les trois longueurs ainsi obtenues; la résultante est égale au module du trièdre et perpendiculaire à son plan d'orientation. Une construction semblable s’applique à un angle polyèdre quelconque. Comme conséquences, un angle trièdre trirectangle dont le sommet est sur une sphère, et dont l’axe (intersection des plans bissecteurs) passe par le centre de la sphère, découpe sur celle-ci une aire égale à dans les mêmes conditions, un

trièdre dont les faces sont de 60° découpe une aire égale au sixième de la sphère totale.

37. Les mêmes formules permettent d’évaluer simplement sur la sphère une aire quelconque limitée par des arcs de petits cercles; il

suffit pour cela de savoir calculer la surface de la lunule comprise entre deux petits cercles, et je donne à cet effet une expression très

38. La valeur du module d’un cône du second ordre me permet de calculer le différence des aires découpées sur une sphère par une quadrique; on arrive ainsi à des résultats curieux et inattendus.

Soit Mx* H- Nj* 4 - Ps“ = K l’équation d’une quadrique rapportée à son centre et à ses axes; appelons module conespondanl au plan principal 3 = O la valeur absolue de la quantité

et définissons de même les modules correspondant aux deux autres plans principaux.

Deux de ces modules sont réels, le troisième est imaginaire.

Supposons mainlenant que la quadrique coupe une sphère de rayon R suivant deux courbes fermées; le cône du second ordre qui passe par celte intersection, et dont le sommet est intérieur à la sphère, a son axe intérieur normal à un des plans principaux de la quadrique; soit II ce plan.

La différence des deux aires découpées par la quadrique sur la sphère a pour valeur upRrf, p désignant le module correspondant au plan II; et d la distance du centre de la sphère à ce plan.

Dans le cas d’une quadrique de révolution, le plan n est toujours celui de l’équateur; et si la méridienne est une parabole, je montre que ;

La différence des deux aires que découpe sur une sphère unparaboloîde de révolution est égale à 4itR/), p désignant le paramètre de la parabole méridienne : cette différence est donc indépendante des positions des deux surfaces dans l’espace, pourvu toujours que le paraboloîde coupe la sphère suivant deux courbes fermées.

39. Les pinceaux de droites donnent lieu à une formule analogue aux précédentes. Appelons ouverture du pinceau le double de l’aire

découpée sur une sphère de rayon un par le faisceau des droites menées du centre de la sphère parallèlement aux droites du pinceau ; la somme algébrique des deux aires que découpe un pinceau sur une sphère est le double produit du rayon par l’ouverture et par la distance du centre de la sphère au plan de symétrie des deux points focaux du pinceau. De même, la somme algébrique des deux aires découpées sur une sphère, par un pinceau de droites parallèles à un plan, est égale au produit du rayon par un coefficient constant, qui ne dépend que de la nature du pinceau.

On déduit de là des propositions intéressantes relatives à la somme ou à la différence des aires que découpent sur une sphère certaines surfaces réglées; ainsi, pour un conoïde, cette somme est le produit du rayon parun coefficient qui ne dépend que de la forme du conoïde, et c’est là une généralisation directe du théorème de la mesure des angles.