VI. - Aires ellipsoïdales

40. Divers géomètres ont essayé d’étendre aux aires, sur l’ellipsoïde, les propriétés classiques si simples et si élégantes des arcs d’ellipse, mais aucun résultat net n’avait été obtenu. Les tentatives les plus heureuses ont été celles de Jellett et de Lebesgue, que nous allons résumer.

Appelons, sur l’ellipsoïde, parallèk, d’axe D et d’angle <f, le lieu des points de la surface où la normale fait un angle ip avec une droite D issue du centre; un parallèle se compose de deux boucles fermées, symétriques par rapport au centre, et l’aire ellipsoïdale comprise entre elles est Vaire du parallèle.

Jellett et Lebesgue ont montré que tout parallèle dont l’axe est un des axes de ïeUipso'ide a une aire exprimable par les fonctions elliptiques; de plus, si les angles p, 9 ', p" de trois parallèles, ayant respectivement pour axes les trois axes a, b, c de la surface, vérifient les relations

les différences de leurs aires deux à deux s’expriment algébriquement :

c’est une extension directe du théorème de Fapano pour les arcs d’ellipse, mais elle est encore engagée, on le voit, dans des formules algébriques.