Voici maintenant ce que j’ai ajouté à cette théorie

Lé théorème de Fagnano est un cas particulier d’une proposition plus générale et plus élégante, connue sous le nom de théorème de Graves. Sur une ellipse E,, extérieure et homofocak à une ellipse E, on prend un point quelconque G, par lequel on mine les deux tangentes à E ; soient T et T' leurs points de contact : l’excès de la somme des longueurs de ces tangentes, limitées au point C d’une part et aux points T et T' d’autre part, sur l’arc de l'ellipse intérieure compris entre les points de

C’est précisément ce théorème de Graves que j’ai étendu, presque mot pour mot, aux aires ellipsoïdales, et cela sous la forme suivante :

Sur un ellipso'ide E,, extérieur et homofocal à un ellipsoïde E, on prend une conique quelconque C, dont le plan passe par le centre, et l’on circonscrit à cette conique et à R une développable; soient T et T' les deux boucles de la courbe de contact de la développable et de l’ellipsoïde intérieur : l’excès de l’aire de la développable, limüée à la conique C d’une part et aux boucles T et T’ d’autre part, sur l’aire ellipsoïdale comprise sur E entre ces deux mêmes boucles, est constant.

L’excès constant s’exprime simplement par les fonctio Soient

i elliptiques.

les équations des ellipsoïdes E et E,; introduisons les fonctions de Weierstrass correspondant aux racines

l’excès constant a pour valeur

« étant le plus petit argument positif défini par l’équation

Toutes les démonstrations ont pour base mes formules sur les sommes de Jacobi (n° 25).

Si l’on observe que les deux boucles T et T'constituent un parallèle, on en déduit l’expression générale de Taire d’un parallèle.

42. Le théorème de Jellett et Lebesgue est un cas particulier du mien; on l’obtient en prenant successivement, pour la conique C, les trois coniques principales deE,.

43. On peut trouver sur l’ellipsoïde d’autres aires réductibles aux fonctions elliptiques.

En premier lieu, soit une sphère de centre t, m, n et do rayon U, extérieure à l’ellipsoïde; circonscrivons à ces deux surfaces une développable : Taire comprise sur l’ellipsoïde, entre les deux boucles de la courbe de contact avec la développable, est égale, à une quantité algébrique prés, à

oii V est le plus petit argument positif défini par jov — i = —‘ , et 6 la racine positive de l’équation

Dans le cas où la sphère a son centre sur un des axes de l’ellipsoïde, Ox par exemple, j’arrive à l’expression complète de Taire ellipsoïdale correspondante

; le plus petit

/ désignant l’abscisse du centre de la sphère et iv étant argument positif défini par

En second lieu, si l’on appelle zone ellipsoïdale la zone limitée sur un ellipsoïde par deux coniques, le long de chacune desquelles on peut circonscrire à la surface un cône de révolution, l’aire d’une telle zone s’exprime elliptiquement. Cette expression résulte du théorème sui-

Soientæ„z, les coordonnées, dans te plan des xz, du sommet d’un cône de résolution circonscrit à l’ellipsoïde Ç, + ^ + - i = o (a> *>(;);

l’excès de faire latérale de ce cône, limité à son sommet et à ta conique de contact, sur l’aire de la ca'otte ellipsoïdale comprise à son intérieur, a pour expression

S, étant faire du demi-ellipsoïde, et u le plus petit argument positif défini, en fonction des coordonnées x,,z, du sommet, par les relations compa-

L’aire latérale du cône est algébrique et s’obtient aisément. Comme conséquence :

Les aires de deux zones ellipsoïdales ont une somme ou une différence exprimable algébriquement lorsque les quatre plans qui limitent ces zones louchent un ellipsoïde homothétique à f ellipsoïde proposé.

Dans le cas où l’ellipsoïde devient un paraboloide elliptique, les zones ont une aire exprimable rationnellement (31, 32) de la manière la plus simple.