VII. — Arcs des courbes algébriques

44. L’arc d’une courbe algébrique quelconque n’est pas une intégrale abélienne appartenant à cette courbe, de sorte que la somme algébrique des arcs interceptés sur elle par une série de courbes mo-

biles ne pourra s’exprimer à l’aide des formules du théorème d’Abel ; mais il en sera autrement si, en tenant compte de l'équation delà courbe mobile, on peut faire disparaître le radical dans l’élément d’arc de la courbe fixe.

Le théorème très général suivant résume cette théorie (33) :

Soit s une courbe algébrique, intersection totale ou partielle de deux surfaces, /= o, <p = o, sur aucune desquelles elle n'est multiple et qui ne se touchent pas le long de la courbe;posons

On coupe la courbe 8 par des surfaces ayant pour équation F>-®=(A> + B=+C>) = o,

F et $ désignant des polynômes quelconques enx,y,z,'t;la somme algébrique des arcs compris sur la courbe 8 entre deux surfaces de ce système, obtenues en faisant suivre une loi de variation quelconque aux coefficients des polynômes F et est une fonction rationnelle des valeurs initiales et finales de ces coefficients.

C’est également une fonction rationnelle des coefficients des deux surfaces f et iq, pourvu toutefois que l’équation de la projection de Q sur un plan ait ses coefficients rationnels par rapport à ceux des deux surfaces.

L’intérêt de ce théorème est que les logarithmes, qui figurent en général dans les formules du théorème d’Abel, disparaissent; il ne peut y avoir d’exception que si toutes les surfaces

passent par un même point à l’infini de la courbe e, et si ce point est un point du cercle isotrope ou un point de contact de la courbe et du plan de l’infini.

Enfin, une formule simple donne, dans tous les cas, l’expression de la somme des arcs considérés dans le théorème général.

45. De là se déduisent de très nombreuses conséquences, dont on va citer les plus simples.

A une courbe algébrique gauche C, d’ordre n, on mène les tangentes qui font un angle donné avec un axe fixe et l’on fait ensuite varier cet angle : la somme algébrique des arcs parcourus sur C par les points de contact est à chaque instant égale à zéro.

On mène à C les plans normaux qui touchent une sphère, et l’on fait varier le rayon de cette sphère, son centre demeurant^e ; la somme algébrique des arcs parcourus sur C par les points d'incidence des plans normaux est égale àttnfois la variation du rayon, ouàaÇn- v)fois cette variation ri C a v points à l’infini sur le cercle isotrope.

Dans CCS deux énoncés, on suppose que la courbe C ne touche pas le plan de l’infini.

A une courbe algébrique ne louchant pas le plan de l’infini en un point du cercle isotrope, on mène les plans normaux qui touchent une sphère, et l'on fait varier le centre decette sphère, son rayon demeurant fixe ; la somme algébrique des arcs parcourus sur la courbe par les points d’incidence des plans normaux est à chaque instant égale à zéro.

La deuxième proposition, appliquée à l’ellipse et à des sphères (ou cercles) ayant le même centre que cette courbe, est une des formes du théorème de Fagnano; dans toute sa généralité elle constitue donc une extension de ce théorème et peut s’énoncer ainsi :

Les huit pieds des normales qu’on peut mener à une ellipse, tangentiellement à un cercle intérieur à la développée, se groupent deux à deux de manière à déterminer sur l’ellipse quatre arcs, dont la somme algébrique est égale à quatre fois le rayon du cercle.

46. Dans le cas particulier des courbes planes, j’ai cherché à généraliser le théorème de Graves sur les arcs d’ellipse; ce théorème, cité plus haut, peut recevoir un autre énoncé : les quatre points de contact d’une ellipse, avec les tangentes communes à cette conique et à un cercle extérieur, se groupent deux à deux de manière à déterminer sur l’ellipse deux arcs, dont la somme algébrique est égale à celle des longueurs des tangentes communes.

Sous cette forme, j’ai reconnu (34, 36) que la proposition s’étend

Sur la courbe d'intersection de deux surfaces algébriques, on considère les points où les deux surfaces se coupent sous un angle donné, et Von fait ensuite varier cet angle; la somme algébrique des arcs décrits sur la courbe par les points considérés s'exprime rationnellement, en fonction de la tangente de Vangle variable et des coefficients des surfaces primitives.