I. — Surfaces cyclides

48. Les cyclides sont les surfaces du quatrième ordre qui ont pour ligne double le cercle isotrope à l’infini; elles sont l’objet, dans le Mémoire 37, d’une étude détaillée,/Jurement géométrique, qui complète les beaux résultats donnés antérieurement par MM. Moutard, Darboux et Laguerre.

L’idée principale de ce Travail est l’introduction des groupes de sphères par rapport à une cyclide; on sait qu’une cyclide admet une série simplement infinie de quadriques inscrites, V, et que, par la biquadratique commune à Va cyclide et à une spbère quelconque, passent quatre cônes, dont cbacun est circonscrit à une surface V. Les sphères auxquelles répond ainsi une quadrique T, donnée, sont dites appartenir au groupe V de sphères, et cette notion entraîne de nombreuses propriétés ('). Une même sphère appartient à quatre groupes.

Toute tangente à une quadrique V coupe la cyclide, ainsi que l’a montré M. Darboux, en quatre points dont la détermination dépend de deux équations du second degré; les quatre points se divisent donc en deux couples et je dis que les deux points d’un couple sont conjugués dans le système Y ; enfin, un cercle bitangent à la cyclide appartient au

deux points de contact

conjugués dan

49. Cela posé, voici quelques-unes des nombreuses propositions établies dans le Mémoire 37 :

Le lieu des centres des sphères de rayon nul appartenant à un même groupe est une cyclide homofocale à la proposée.

Les biquadratiques communes à une cyclide et aux sphères d’un même groupe ont une de leurs lignes focales sur la cyclide, lieu des centres des sphères de rayon nul du groupe.

Toute sphère passant par un cercle bitangent du groupe V appartient au groupe V de sphères.

I,es sphères d'une même série doublement tangentes à une biquadratique sphérique tracée sur une cyclide, et simplement tangentes à cette surface, la touchent suivant une ligne de courbure.

Les axes des cercles d'un même groupe V, bitangents à une cyclide, louchent une quadrique U, homofocale aux quadriques déférentes de la cyclide.

Les plans perpendiculaires en leurs milieux aux droites joignant deux points d’une cyclide conjugués dans le système V enveloppent la quadrique U du théorème précédent.

Les quadriques V et U ont mêmes directions principales et les longueurs de leurs axes parallèles sont inversement proportionnelles.

50. J’appelle cubique principale d’une cyclide le lieu des centres des quadriques V inscrites;' d’e nombreux théorèmes se rattachent ii celte courbe. Ainsi :

Si une section plane a un axe de symétrie, cet axe est une corde de la cubique principale; le plan mené par l’axe normalement au plan de section passe par un point fixe O de la cubique.

Réciproquement : Un plan quelconque P issu de Q coupe en outre la cubique en l et m\ le plan mené par l et m normakmenl au plan P

Les plans des courbes à deux axes de symétrie qu’on peut tracer sur ta

cyclide enveloppent une développable, dont la podaire, par rapport au point 0, coïncide avec la cubique principale.

Un plan quelconque coupe, suivant des courbes à un axe de symétrie, trois cyclides d'un système homofocal.

Soit 0' le pied d'une normale menée du point 0 à un des cinq cônes du second ordre inscrits à la cyclide; te plan tangent en 0' à ce cône coupe la cyclide suivant deux cercles égaux, dont les centres sont équidistants de 0' et en ligne droite avec ce point.

La normale en un point d’une cyclide et la corde de la cubique principale issue de ce point déterminent un plan qui passe par le point fixe 0.

51. Je signalerai encore des propositions sur les normales, les lignes de courbure, les centres de courbure principaux d’une cyclide et, en particulier, des constructions très simples de ces centres pour un point donné de la surface. Le théorème suivant concerne la théorie des points conjugués.

Le lieu des conjugués d’un point a d’une cyclide, dans un système V, est la biquadratique commune à la surface et à une sphère qui la touche au point a; je montre que :

Les centres n„ a„, a„ ... des spheres qui renferment les conjugues du point a dans les systèmes V,, V.j, V,, ... déterminent sur la normale à ■ la cyclide en a une division homographique à une division fixe; le rapport anharmonique de quatre de ces points est égal au rapport anharmonique, sur la cubique principale, des centres des quadriques V correspondantes.

Ce théorème donne de nombreuses conséquences; la suivante complète un résultat de MM. Laguerre et Darboux :

Soient d,, d.,, </,, d,, d^ les centres des sphères bitangentes à la cyclide et dont un des points de contact est un point donné a de cette surface; les cinq points d sont respectivement sur les cinq quadriques déférentes. Si a décrit une ligne de courbure, ces cinq points et l'un des centres de courbure principaux de la cyclide en a déterminent, sur la normale en a, une division homographique à une division fixe.

52. La note 38 traite un problème intéressant posé par M. Darboux. L’éminent Géomètre a montré qu’on peut déterminer les lignes de

courbure d’une cyclide quand on prend pour absolu (Cayley) nne quelconque des quadriques V inscrites; je fais voir que ces lignes, queHe que soit la quadrique V choisie, coîncidenl avec les lignes de courbure ordinaires.

De ce résultat, transformé par corrélation, se déduit une détermination simple des lignes de courbure d’une surface remarquable étudiée par MM. Laguerre et Darboux ;

La surface de quatrième classe et du douzième ordre, doublement inscrite dans un cône du second degré et ayant le cercle isotrope comme ligne double, admet une série simplement infinie de quadriques inscrites; chacune de ces quadriques, en dehors de sa courbe de contact, qui est du quatrième ordre, coupe la surface Suivant une courbe du seizième ordre : ces courbes du seizième ordre sont les lignes de courbure de la surface.