II. — Suriaces du second ordre

53. Le Mémoire 39 étend aux quadriques les notions de points conjugués et de groupes de sphères. Soit o une conique quelconque du plan de l’infini passant par les quatre points communs à la quadrique et au cercle isotrope; une sphère appartient au groupe a si un des quatre cônes qui passent par son intersection avec la quadrique contient la conique c. Deux points de la quadrique sont conjugués dans le système c si la droite qui les joint rencontre cette conique; enfin, un cercle bitangent à la quadrique fait partie du groupe es si ses deux points de contact sont conjugués dans le système es.

Toute sphère passant par un cercle bitangent du groupe es appartient au groupe a de sphères.

Le lieu des centres des sphères de rayon nul appartenant à un même groupe est une quadrique homofocale à la proposée.

Les biquadratiques communes à une quadrique et aux sphères d’un même groupe ont une de leurs lignes focales sur la quadrique, lieu des centres des sphères de rayon nul du groupe.

Les deux focales a., et «j d'une conique a, tracée sur une quadrique^, sont respectivement sur deux quadriques E, et Ej, homofocales à E; les

cônes circonscrits aux quadriques^, E,, E. suivant ks coniques oc, a,, a, sont concentriques et komofocaux.

Les sphères d’une même série, bitangentes à une quadrique Q, inscrite à E, appartiennent à un mime groupe par rapport à'K; de même pour les sphères inscrites à une quadrique de révolution bitangente à E.

On peut toujours, bien que cela sembk impossible a priori, construire une quadrique inscrite à une quadrique donnée E, et bitangente à trois sphères appartenant à un même groupe par rapport à E.

Les sphères d’une même série, doublement tangentes a une conique située sur une quadrique et simplement tangentes à cette surface, la touchent suivant une ligne de courbure, qui passe par Us extrémités du diamètre conjugué du plan de la conique.

par un point m d'une quadrique, on considère celles qui sont en outre tangentes à la surface : le lieu de leurs points de contact se compose des deux lignes de courbure de la quadrique qui se croisent en m.

On a ainsi une génération géométrique très simple des lignes de courbure; si, de plus, on désigne par a et b les points où la sphère touche les deux génératrices, par c celui où elle touche la quadrique, la ligne de courbure engendrée pare est normale en ce point au cercle qui passe par les points a, b, c.

Citons enfin une proposition analogue à un théorème rappelé plus haut à propos des cyclides ;

Les lignes de courbure d’une qiuulrique restent ks mêmes quand on prend pour absolu une conique quelconque, passant par les quatre points communs à ta surface et au cercle isotrope, ou une conique quelconque passant par quatre ombilics situés dans un même plan principal.

On peut donner, pour une conique, une théorie des groupes de cercles analogue à la théorie des groupes de sphères (39).

54. Le Mémoire 41 est consacré à une question d’un ordre dilférent.

11 semble a priori qu’il y ait une infinité simple de quadriques indécomposables touchant respectivement en. quatre points deux quadriques données ; en réalité, je montre qu’il n’en est rien ; si les deux

quadriques primitives ne satisfont pas à une condition initiale, il n’existe amune surface du second ordre quadritangente à l’une et à l’autre; si la condition est vérifiée, il existe une infinité double de telles surfaces.

La condition initiale peut recevoir differentes formes.

Par exemple, si A = o et B = o sont les équations des deux quadriques primitives, il faut que le produit AB soit décomposable en une somme de quatre carrés, ou que les génératrices d’un système de A et celles d’un système do B appartiennent à un même complexe

Si l’on désigne, suivant les notations classiques, par A, 0, A', 0' les invariants du système des deux quadriques, la condition initiale s’exprime analytiquement par A0'“ = A'0“. Quand elle est vérifiée, les surfaces du second ordre quadritangentes à A et B ont une équation de la forme IpiC -t- XE -t- pF — D = o, > et p: étant des paramètres

55. C’est la théorie des quadriques inscrites à une surface de Kummer qui m’a amené à poser le problème précédent; le lien entre les deux questions est exprimé par cette proposition :

Les surfaces du second ordre, quadritangentes à deux quadriques données et passant par un point donné, ont pour enveloppe une surface de

Réciproquement, toute surface de Kummer est susceptible de ce mode de génération.