VI. — Surfaces uuicursales

66. Autant la théorie des surfaces représentables point par point sur le plan est riche en propositions particulières et en exemples curieux, autant elle semble pauvre en résultats généraux. Il n’était donc pas sans intérêt d’arriver, dans ce domaine, à des théorèmes d’une application étendue. Mon but, dans le Travail 55, a été de rechercher, d’une manière générale, quelles sont les images sur le plan des courbes communes à une surface unicursale et à ses adjointes d’un ordre donné : les résultats antérieurement obtenus sur cette question étaient incomplets et souvent même inexacts. Les deux propositions suivantes résument mes recherches ;

I. Soit une surface S, d’ordre n, représentable point par point sur le

plan, de telle sorte que ses sections planes aient pour images des courbes d’ordreh, ayant en des points {a,), {a^), ... des singularités a „ cj, .... Les images des courbes mobiles, communes à la surface et à ses adjointes d’ordre n-b q — ht sont des courbes d'ordre hq — 3, ayant aux points {a,),(afj, ... tes singularités adjointes des singularités {qa,), (qaj) .

II. Réciproquement, toute courbe du plan, d’ordre hq — 3, ayant en {a,), (aj ),... les singularités adjointes des singularités {qa{qcf), ... est l’image de l’intersection de la surface S avec une surface adjointe d’ordre n-\-q — h{')-

67. D’autres résultats du Mémoire 55 concernent les points mul-

tiples isolés de la surface, par lesquels doivent passer les surfaces adjointes; c’est-à-dire, en particulier, tous les points multiples d’ordre supérieur à deux, situés en dehors des lignes multiples : de pareils points ont toujours, pour image plane, une courbe. De plus :

Si une surface d’ordre n, représentable point par point sur le plan, possède t de ces points multiples isolés, elle admet au moins t surfaces d'ordre n — k, adjointes le long de ses lignes multiples, et linéairement distinctes.

VU. — Surface du sixième ordre liée aux fonctions ahéliennes.

68. Une surface peut correspondre point par couple, à une courbe algébrique G; c’est-à-dire qu’à un couple de points de C correspond un point de la surface, et inversement qu’à un point de la surface répond un seul couple sur C. Si C est de genre p, la surface est de-genre jpfp — i).

Lorsque /; = 3, on peut supposer que C est la courbe plane générale d’ordre quatre ; alors, pour une des surfaces que l’on vient de définir, les coordonnées non homogènes d’un point sont des fonctions abéliennes à six périodes, de trois paramètres u, v, w, liés par la relation S(u, v, if>) — O, où Sf désigne une des 64 fonetions abéliennes normales du premier ordre.

69. Voici comment on peut-définir une pareille surface, du degré minimum Si® (66, 57, 58) :

Soient â, et âj deux quelconques des 64 fonctions d’ordre un; les 62 autres & se groupent deux à deux de manière que le produit de deux fonctions d’un groupe ait même caractéristique que âiâj. On obtient ainsi, au total, 32 produits dont 16 sont des fonctions paires, et les 16 autres impaires; les 16 produits pairs s’expriment — de même que les 16 impairs — en fonction linéaire et homogène de 4 d’entre eux.

Désignons alors par 0.0, celles des quatre fonctions ainsi dé¬

finies qui n’ont pas la même parité que soit S la surface pour laquelle les coordonnées æ,,..., æ, d’un point sont proportionnelles à 0,,..., 0,, les paramètres «, v, m'étant liés parâ,(M,v,«') = o. J’établis que S est d’ordre six ; si on la rattache à la courbe C du quatrième

ordre, à un couple de points sur C correspond un seul point de S, mais à un point de S répondent, sur C, deux couples, situés sur une même droite. La surface S est néanmoins de genre trois.

70. Aux demi-périodes et aux 63 fonctions &, autres que correspondent, sur S, des points et courbes remarquables.

12 demi-périodes annulent &, et les 40; il leur correspond 12 droites, concourant èn un point O, qui est triple sur la surface, et répond aux arguments annulants, etSj. Aux 16 autres demi-périodes annulants,, correspondent, sur S, 16 points doubles, formant une configuration de Kummer; aux Sa fonctions S,- et Sy, telles que le produit S,&y ait la caractéristique, mais non la parité, de S, S^, correspondent Sa cubiques planes, placées deux par deux dans les 16 plans de la configuration de Kummer précédente, et passant par les six points doubles situés dans leur plan. Enfin aux 3o dernières fonctions S correspondent 3o biquadratiques gauches, passant chacune par huit points doubles et par le point 0.

71. Il est intéressant d’observer que la surface S se déduit géométriquement. d une manière très simple, de la surface de Kummer.

Considérons le point O et la surface de Kummer qui admet pour points doubles les 16 points doubles de S. Toute sécante issue de O coupe la surface en 4 points, qui se répartissent, de trois manières différentes, en deux couples, et les deux couples de chaque groupement déterminent sur la sécante une involution du second ordre, dans laquelle le point O a un conjugué, ™ : le lieu des points m, quand la sécante varie, est la surface S.

Cette construction montre que S admet pour ligne double une cubique plane, intersection de la première polaire et du plan polaire du point O par rapport à la surface de Kummer, etaussi que S contient les 12 bitangentes menées de O à cette surface; ce sont les 12 droites trouvées plus haut.

72. On arrive ainsi à une représentation géométrique intéressante des 64 fonctions abéliennes normales du premier ordre; la figure obtenue conduit également à des propriétés nouvelles des courbes du quatrième ordre, ou de quatrième classe (59 et 56).

Soit, en effet, e le cône de quatrième classe circonscrit à la surface de Kummer, K, à partir du point 0; ses 28 génératrices doubles sont les 12 bitangentes menées de O à K et les 16 droites qui joignent O aux points doubles de K. Ces 28 droites, comme on sait, sont situées 12 par 12 sur 63 cônes du troisième ordre, qui sont les cayleyensi^s 63systè mes de cônes du second ordre inscrits à 8 ; or, ces 63 cônes, de sommet O, sont en évidence dans la figure ; 32 d’entre eux ont pour base les 32 cubiques planes trouvées sur S; 3o autres ont pour directrices les 3o biquadratiques; le dernier, enfin, a pour base la cubique double de S. De là résultent des propriétés des courbes de quatrième classe, dont voici quelques exemples :

Les 28 points doubles d’une courbe plane, s, de quatrième classe sont, 12 par 12, sur 63 cubiques ; ces cubiques peuvent se répartir de 336 manières en groupes de trois, de telle sorte que les trois cubiques d'un groupe n aient aucun point double de S en commun, et se coupent en trois points situés sur une droite.

Les 28 points doubles de e sont, 6 par 6, sur 1008 coniques : ces coniques se répartissent en 336 groupes de trois, de tette sorte que les trois coniques d'un groupe riaient en commun aucun point double des, et se coupent en quatre mêmes points.