I. — Surfaces hyperelliptiques

73. L’Académie des Sciences avait proposé, comme sujet pour le PrixBordin en 1892, la question suivante :

Applications de la théorie générale des fonctions abéliennes à la Géo-

Ces extraits rendent mutile une analyse détaillée de mon Mémoire (60), aussi me bornerai-je à mentionner les points les plus impor-

75. Surface de Kummer. — J'adopte la représentation paramétrique de M. Weber, dans laquelle les coordonnées d’un point de la surface sont proportionnelles à quatre fonctions thêta du second ordre, paires, et à caractéristique nulle. J’établis un théorème fondamental :

L’équation de la courbe complète, d'ordre 4 p, commune à la surface et à une surface algébrique d’ordre p, s'obtient en annulant une fonction thêta normale paire, d’ordre ap, à caractéristique nulle, et récipro-

QOEMEST.

Les courbes tracées sur la surface de Kummer sont toutes de degré pair, et le long d’une courbe quelconque (d’ordre ap), on peut circonscrire à la surface une surface (de degré/)), ne la coupant pas en dehors de la courbe.

Cette dernière propriété est curieuse; je ne connais, pour la posséder aussi, que les cônes du second ordre (42).

Je donne, pour représenter les i6 points et les i6 plans singuliers, un algorithme nouveau, particulièrement simple, qui ÿi’est utile dans toute la suite du Mémoire.

La classification des courbes d’un degré donné, 4m ou 4m h- a, tracées sur la surface, est résumée par ces théorèmes :

Les courbes d’ordre hm se répartissent en Za familles :

1° Une famille, am? -i- i fois infinie, dont chaque courbe est l’intersection complète de la surface et d’une surface générale d'ordre m ;

2° Vnefamiile, 2m“—3 fois infinie, de courbes passant par les i& points

d’ordrem-é- 2, passant par quatre des i6 coniques de la surface;

3° Trente familles, amr — i fois infinie chacune, de courbes dont chacune passe par 8 points doubles et constitue l’intersection de Ut surface avec une surface d’ordre m -h t, passant par deux coniques.

Les courbes d’ordre 4m + 2 se réparlissent aussi en 32 familles :

I ° Sehe familles, 7.m-+ nm fois infinie chacune, de courbes dont chacune passe par 6 points doubles situés dans un même plan, et constitue l'intersection de la surface avec une surface d’ordre m H- i, passant par une des \ & coniques;

2“ Seize familles, 2m“+ 2m — i fois infinie chacune, de courbes dont chacune passe par 1 o points doubles, et constitue l’intersection de la surface avec une surface d’ordre m + 2, passant par trois coniques qui ont en commun un point singulier.

J’étudie ensuite avec détails les courbes do degrés 4. 6 et 8 qu’on peut tracer sur la surface de Kummer; je citerai seulement un résultat;

La surface de Kummer admet 16 familles, trois fois infinie chacune, de surfaces inscrites du troisième ordre, à quatre points doubles; les quatre points doubles, situés sur la surface de Kummer, sont les sommets d’un tétraèdre, dont les six arêtes touchent ta surface en six nouveaux

Cette propriété est intéressante, car, apriori, les tétraèdres inscrits par leurs sommets et circonscrits par leurs arêtes à une surface donnée, sonten noruhn doublement infini; ici, nous trouvons un nombre triplement infini de tels tétraèdres.

76. Surfaces”hyperelliptiques générales. — Ce sont celles pour lesquelles les coordonnées d’un point sont des fonctions abéliennes de deux paramètres u, c, telles qu’à un point ne réponde, aux périodes près, qu’un couple d’arguments. La liaison entre les fonctions thêta et les surfaces adjointes résulte de ce théorème :

Si les coordonnées d'un point d’une surface S, de degré n, sont proportionnelles à quatre fonctions thêta, de caractéristique nulle, d'ordre h, ayant en des points u„c,;u^,c^,... des singularités communes ff,, Oj,..., les surfaces adjointes, d'ordre n + q-h, découperont sur la proposée le système linéaire de courbes

\Hu,c)-^\6,(u,r)+... = o,

les 0 étant des fonctions thêta de caractéristique nulle, d’ordre hq, ayant

en («i, Cj) la singularité adjointe de{<jaj) ('). Réciproquement, toute courbe de cette nature est sur une adjointe d’ordre n + q — l^.

La surface unique d’ordre n —4. adjointe à S, coupe celle-ci, en dehors des courbes multiples, suivant des courbes uniciirsales, que j’appelle unicursales singulières {aornhes, ausgeseichnete de M. Nôther); je montre que ;

Les surfaces adjointes d’ordre n + q — li, qui passent par les courbes unicursales singulières, découpent sur la proposée le système linéaire de

oàlesSsont des fonctions thêta de caractéristique nulle, d’ordre hq, ayant en Mj, Vk la singularité (q^k), et réciproquement.

Les deux propositions précédentes entraînent de nombreuses conséquences géométriques; la suivante est relative aux surfaces de contact :

Soit S une surface hyperelliptique d'ordre n. Les surfaces d'ordre n + rm — h, adjointes à S, passant parles courbes unicursales singulières, et ayant avec la proposée, tout le long du reste de l'intersection, un contact d'ordre r — r, se divisent en r” systèmes. Dans chaque système, les courbes de contact forment une série linéaire.

Les r courbes de contact de r surfaces d'un même système sont sur une adjointe d'ordre n-\-rm — h contenant les courbes unicursales singulières.

Soit k un entier positif inférieur ou égal à r : par k — i courbes de contact appartenant à des systèmes quelconques et par les courbes unicursales singulières, on peut faire passer une infinité de surfaces adjointes, d'ordre n -y km — qui découpent en outre sur la proposée un des /’* systèmes de courbes de contact.

Signalons encore ce théorème que, si les sections planes de S sont de genre p, le nombre des surfaces adjointes, d’ordre n h- j — 4, linéairement distinctes, où q est > o, est toujours égal à-

{')l'air au n" 60 pour l’explioalion do ccs symboles do singularités.

77. Parmi les surfaces hyperelliptiques générales, j’ai signalé des surfaces du huitième ordre; la plus simple se déduit aisément de la surface de Kummer.

Supposons que les plans de coordonnées et le plan de l’infini forment, pour une surface de Kummer K, un tétraèdre de Rosenkain, c’est-à-dire que les faces et les sommets du tétraèdre soient respectivement des plans et des points singuliers de la surface. A un point X, Y, Z de K, faisons correspondre deux points x, y, z par les relations X = —, Y Z =—; le pointæ, y, z décrit une surface du huitième ordre, hyperelli'ptique, et telle qu’à un de ses points ne réponde qu’un couple d’arguments ahéliens, aux périodes près.

Les lignes doubles de la nouvelle surface sont les arêtes du tétraèdre de référence; ses sections planes sont de genre neuf, etc.

78. Surfaces anahgues à celle de Kummer. — Sià un pointd’une surface hyperelliptique répondent deux couples d’arguments ahéliens, je montre qu’elle est représentable point par point sur la surface de Kummer et j’indique la relation entre les fonctions thêta et les surfaces adjointes. Il y a, dans cette classe, des surfaces du quatrième ordre ; je donne une méthode pour les obtenir toutes, et je discute, à titre d’exemple, le lieu des sommets des cônes du second ordre qui passent par six points fixes : c’est une surface dont la liaison avec les fonctions abéliennes était déjà connue; j’en fais connaître quelques propriétés nouvelles.