II. — Surfaces de Kummer elliptiques

79. Parmi les surfaces de Kummer, la plus anciennement connue est la surface de l'onde, ou sa transformée homographique, le tétraédroîde; on sait, depuis longtemps, que les coordonnées d’un point d’une telle surface s’expriment à l’aide de fonctions, doublement périodiques séparément par rapport à deux paramètres. Dans le Mémoire 62, je détermine toutes les surfaces de Kummer qui jouissent de la même propriété, c’est-à-dire toutes tes surfaces de Kummer elliptiques, et je les étudie au point de vue des courbes algébriques qu’on peut tracer sur elles.

Une surface de Kummer elliptique est déterminée, à une transformation homographique près, si l’on se donne les périodes des deux systèmes de fonctions elliptiques de la représentation et un nombre carré parfait, que nous verrons apparaître tout à l’heure dans une théorie plus générale, et que j’appelle l'invariant. Le tétraédroïde correspond à l’invariant quatre; j’examine spécialement la surface d’invariant neu/, qui possède cette propriété caractéristique :

Sur une surface de Kummer elliptique, d’invariant neuf, les six points doubles situés sur une quelconque des coniques de la surfaceserépartissent en deux groupes de trois, de telle sorte qu’il existe une conique inscrite au triangle formé par les trois premiers points et circonscrite au triangle formé par les trois derniers ; — et réciproquement.

M. 0. Bolza a retrouvé la même propriété dans un Mémoire AcsMath. Annalen; il a bien voulu, par une Note publiée dans le t. LI du même Kecueil, reconnaître ma priorité.

ni. — Fenctions abéliennes singulières.

80. Soit (i, o), (o, i), {g, h), (h, g') un système de périodes nor¬

males pour des fonctions abéliennes de deux variables : au cours de mes recherches sur les surfaces hyperelliptiques, j’ai dû supposer que g, h, g’ n’étaient liés par aucune relation à coefficients entiers du type (0 Aÿ-l-BA-fCÿ'-t-D{A>-^ÿ')-l-El = o;

dans l’hypothèse contraire, la surface pouvait admettre d’autres courbes algébriques que celles obtenues en annulant des fonctions thêta, formées avec les périodes précédentes.

En appelant relation singulière entre les périodes, toute relation de la forme (i) où les entiers A, B, ..., K sont supposés sans diviseur commun, j’ai étudié dans les Notes 63 à 71, et dans les deux Mémoires étendus 72 et 73, les fonctions abéliennes correspondantes, que j’appelle fonctions singulières.

81. Un premier résultat est que toute transformation, d’ordre un.

des périodes g, h, g, change une relation singulière en une autre, et que la quantité B* —4AC —4DE est la même pour toutes deux. J’appelle cette quantité rwanant de la relation singulière, et j'établis ensuite cette proposition fondamentale que ;

l’une à l’autre par une transformation du premier ordre des périodes.

Il en résulte, pour les relations singulières d’invariant A, selon que A est du type 4N ou du type 4N -i-1, les deux formes canoniques

82. L’invariant est un nombre essentiellement positif; s’il est carré parfait, une intégrale abélienne de première espèce correspondant aux périodes considérées est réductible à une intégrale elliptique, et réciproquement. Dans ce cas, que J’appelle le cas elliptique, l’invariant étant n-, la relation singulière peut se ramener à nA —i = o, et le tableau des périodes au suivant :

C’est là une nouvelle démonstration d’un théorème célèbre, énoncé par M. Weierstrass, établi et complété par M. Picard.

J’étends ensuite un théorème de M. Poincaré, qui, dans ma terminologie, s’énonce ainsi : S’il existe, entre les périodes, deux relations singulières, pour chacune desquelles l’invariant soit carré parfait, il existe une infinité de telles relations. Je démontre qu’il suffit, pour la même conclusion, que l’une des deux premières relations singulières ait son invariant carré parfait.