IV.— Fonctions intermédiaires singulières

83. En désignant toujours par (i, o), (o, i), {g, h), (A, g') un système de périodes abéliennes normales pour deux variables u et r.

j’appelle, à l’exemple de Briot et Bouquet et de M. Poincaré, fonction intermédiaire toute fonction entière de u, o qui se reproduit, multipliée par une exponentielle quand l’on augmente « et r d’une

période.

Si les périodes ne vérifient pas de relation singulière, il n’y a pas d’autres fonctions intermédiaires (à un facteur exponentiel près), que les fonctions thêta dérivées des périodes (i,o), (o, i), (g, h), {h, g')-, si, au contraire, les périodes sont liées par une relation singulière, que l’on peut toujours supposer ramenée au type «g- + pA + = o,

il existe des fonctions intermédiaires satisfaisant aux conditions

t{u-¥g, r-t-Zi) =ÿ(ii,

où / et A sont deux entiers, que j’appelle les indices de la fonction intermédiaire singulière <f(u, (’)(*).

Toutefois, pour que ces fonctions existent, il faut et il suffît, en supposant la partie imaginaire de g positive, que

2l + pk>moiks/W^-

Le produit d’une fonction d’indices l, i par une fonction d’indices t, — A est une fonction thêta, d’ordre/+/'. On voit ainsi que, dans le cas des fonctions abéliennes singulières, une fonction thêta peut se décomposer en un produit de deux facteurs qui ne sont pas, à un facteur exponentiel près, des fonctions thêta aux mêmes périodes.

Deux fonctions intermédiaires singulières, d’indices l, k et l!, kf, ont un nombre de zéros communs, abstraction faite des multiples des périodes, égal à 2 U' -t- ^(Ik' -H kl') + aaytf'.

84. Les fonctions intermédiaires d’indices l, k sont fonctions linéaires et homogènes de -t- -t- oeyA* d’entre elles, dont j’obtiens

aisément les développements en série d’exponentielles.

(') On a des équations analogues, bien qu’un peu plus compliquées, si la relation singulière est du type général.

85. J’appelle/onrtions intermédiaires normales d’indices /, k, celles qui vérifient les relations

et je dis que les entiers a, G, w', 6'forment la caractéristique de la fonction, exactement comme dans la théorie des fonctions thêta normales.

Cela posé, en supposant y = i, ainsi qu’on en a le droit, c’est-à-dire en partant de la relation singulière (i.g+^h + g' = o, j’établis les théorèmes suivants :

I “ Soit poséZ = /* + pH + a/t”. Les S fonctions normales, linéairement distinctes, de caractéristique (o, o, o, o), d’indices l, k, se répartissent en : ^(5-l-i) fonctions paires, s’annulant pour six demi-périodes

4(5 — i) fonctions impaires, s’annulant pour dix demi-périodes {(â-t-2) fonctions paires, s’annulant pour quatre demi-périodes

1(3 — 2) fonctions impaires, s’annulant pour douze demi-périodes iiS-hü) fonctions paires

1 (^—4) fonctions impaires, s'annulant pour seize demi-périodes a” Les S fonctions normales, linéairement distinctes, de caractéristique (co, 0, (!)', 9'), d’indices l, k, se répartissent en :

Toutefois, si S est pair et k impair, pour les trois caractéristiques autres que (o, O, O, o) vérifiant les congruences

w + /B'=9'-i-e(;+P) = o (mod2),

il y a

. 86. On obtient ainsi des groupes intéressants de demi-périodes,

annulant les fonctions intermédiaires normales paires ou impaires d’indiees /, k-, si k est pair, ces groupes coïncident avec ceux qui annulent les fonctions thêta normales d’ordre l, ayant même caractéristique que les fonctions considérées; si k est impair, on obtient de nouveaux groupes, que je caractérise, et dont je donne explicitement le Tableau, dans tous les cas.

87. En annulant une fonction intermédiaire, singulière, normale, paire ou impaire, on obtient sur la surface de Kummer, représentée par le procédé de M. Weber, une courbe algébrique singulière, qui n’existe pas sur la surface de Kummer générale, et qui passe par certains groupes de points doubles de la surface.

3’établis deux formules importantes relatives au degré, d, et au genre, p, d’une courbe singulière :

= pw-h«<:>-s-t-2)-N,

en désignant par l, k les indices de la fonction normale correspondante, par as le nombre de points doubles par lesquels la courbe passe simplement, et par — N un terme soustractif, que j’explicite, et qui dépend des points multiples de la courbe proposée. Quand il n’y a pas de points multiples, N = o.

88. Inversement, si une surface de Kummer admet une courbe algébrique n’existant pas sur la surface générale, c’est une surface singulière, c’est-à-dire dérivant, de fonctions abéliennes singulières : je le

démontre en m’appuyant sur un beau théorème de M. Appell, relatif aux fonctions intermédiaires en général.

Les théorèmes des n“ 85 et 87 contiennent évidemment la classification des courbes singulières d’un degré donné, qu’on peut tracer sur une surface deKummer singulière.