V. — Équations modulaires

89. La question se pose naturellement de déterminer les radicaux qui donnent naissance à des fonctions abéliennes singulières; ou, sous, une autre forme, de trouver les conditions nécessaires et suffisantes auxquelles doivent satisfaire les constantes a,, Oj, ..., a„ pour que les périodes des fonctions abéliennes dérivées du radical \l(x — ai){x — a,)...{æ — a,) soient liées par une relation singulière, A’inmriant donné.

L’équation entre a, .a, est ce que je nomme V'équation modu¬

laire corrrespondant à l’invariant considéré; elle est algébrique.

l’indique pour la former de proche en proche, à partir des invariants cinq et huit, une méthode géométrique qui repose sur les principes suivants :

90. Soit d’abord le cas de l’invariant cinq. On peut supposer |3 = i, a = — I ; pour les indices / = i, i = i, on trouve, sur la surface de Kummer correspondante, une cubique gauche, passant par six points

doubles d,, d^ . d,. Désignons par P,, Pj, ..., P, les traces, sur un

plan n quelconque, des six plans singuliers de la surface qui passent par : en projetant la cubique sur H, à partir de d„ on obtient une conique, tangente à la droite P, et circonscrite au pentagone P,P.,PiP,Ps. Si l’on transforme ce résultat par polaires réciproques, en observant que la surface de Kummer est sa propre correspondante dans dix corrélations, on établit que la condition nécessaire et suffisante pour que la surface de Kummer soit singulière et d’invariant cinq est celle-ci :

Les six-points doubles, situés sur une même conique, d’une surface de Kummer répondant à des fonctions singulières d’invariant cinq, sont tels

formé par les cinq autres.

Soient alors x, a,, «j, a,, a„ n, les arguments des six points sur leur conique; la condition précédente se traduit analytiquement par la relation

qui est l’équation modulaire, répondant à l’invariant cinq, pour le radical - «,)(* - a,)(x - a,){so - a,){x - a,).

91. De même, dans le cas de l’invariant huit, en supposant ^ = o, a = — 2, on trouve, sur la surface de Kummer, pour les indices /= 2, i = i, une serie, simplement infinie, de biquadratiques gauches passant par quatre points doubles. Une de ces biquadratiques a un point double en un cinquième point singulier de la surface, et en la projetant à partir de ce dernier, on arrive à ce résultat :

te six points doubles, situés sur une même conique, d'une surface de Kummer répondant à des fonctions singulières d’invariant huit, sont tels

drilatère formé par les quatre autres.

Analytiquement, on en conclut que le radical

donne naissance à des fonctions abéliennes singulières d’invariant huit si l’on a

ka,a,a,a,{{a,+ aMa,+ a.) 2a,a.- no.».]- = (aj - m )'(a, - a, )• (a, a,-I-Æ, a, )>.

Ces deux résultats sont à rapprocher de celui donné au n” 79 pour l’invariant neuf.

92. Des théorèmes analogues permettent de former l’équation mo-. dulaire dans tous les cas; pour simplifier, je citerai seulement celui qui s’applique à un invariant de la forme 8N.