VI. — Transformations singulier

94. Etant donné un système de périodes (i,o), (o, i), {g, h), (A, g-'), que j’appellerai plus simplement (g, A, g), le problème de la transformation, tel que l’a posé M. Herraite, consiste à trouver tous les systèmes (G, H, G'), tels qu’une fonction abélienne quelconque, F(U, V), formée avec ces nouvelles périodes s’expri me rationnellement à l’aide des fonctions abéliennes,/(H, e), admettant les périodes pri-

D'abord U et V doivent être linéaires en «, e ;

il faut et il suffit ensuite que, si l’on augmente « et e d’une de leurs périodes, U et V augmentent d’une des leurs ('), ce qui donne, en désignant par a,., c,-, </, des entiers :

Éliminons X, p,, X',pi', G, H, G'; il vient, en posant (aJ)y = - «jA,,

+ (A‘- gg')[(n*).,4- (ai),,] + (orf).,+ (cd)„= O.

Si g. A, g' sont pris au hasard, les coefficients de g, A, g', A* — gg' et le terme constant dans cette équation doivent être nuis : c’est l’hypotbèse qu'a faite implicitement M. Hermite, etdont il a déduit la théorie ordinaire de la transformation. Mais si g. A, g" sont liés par une relation singulière, il existera d’autres transtormations que celles de M. Hermite ; je les appelle singulières, par oppoÿtion aux transformations de M. Hermite, que je nomme ordinaires.

singulière de u, v, dont je calcule les indices en fonction des précédents et de ceux de la transformation.

98. Réduction d’une transformation.' — En faisant précéder une transformation singulière, d’indices Z.et d’une transformation ordinaire d’ordre un, on ne change pas les indices, et l’on peut ainsi donner à la transformation initiale une forme réduite : deux transformations réduites différentes ne sont pas réductibles l’une à l'autre par une transformation ordinaire du premier ordre.

Voici comment on obtient toutes les transformations réduites d’indices donnés, l et k, en désignant toujours par S la quantité positive + Soient : 0 un diviseur commun positif de /et de^;

Cj un diviseur commun positif de| et p p un diviseur positif de tel que les nombres P- ^ soient premiers entre eux.

On pourra toujours trouver un ou plusieurs entiers, rf,, en nombre limité, de module inférieur à Op, tels que l’on ait

La transformation réduite est alors :

Les périodes G, H, G' des fonctions abéliennes en ü et V sont liées à g-, A, g'par les formules suivantes ;

100. L’invariant le plus petit, non carré parfait, qui donne naissance à ce cas remarqnable est douze; j’indiqne dans ce cas une image géométrique des deux systèmes de modules qui répondent aux deux surfaces:

Soit un hexagone circonscrit à une conique et tel qu’il existe une courbe unicursale du quatrième ordre passant par les sommets, et tangente aux côtés de l’hexagone : les rapports anharmoniques, tâis à trois, des six côtés, considérés comme tangents à la conique, forment le premier système de modules; les rapports anharmoniques. tms à mis, des six sommets, considérés comme situés sur Vunicursale, forment le second système.