VII. - Multiplication complexe

101. Si une transformation, singulière ou non, fait correspondre deux systèmes de fonctions abéliennes aux mêmes périodes, je dis, par analogie avec le cas elliptique, que c’est une multiplication complexe.

Le problème de déterminer tous les systèmes de périodes de multiplication complexe n’a jamais été traité avec la généralité qu’il comporte, parce que les auteurs qui s’en sont occupés ont toujours admis que la transformation de correspondance est une transformation de M. Hermite, c’est-à-dire une transformation ordinaire. Le cas des transformations singulières, qui donne précisément naissance aux multiplications complexes les plus remarquables, n’avait jamais été abordé.

102. Les périodes {g, h, g') de multiplication complexe doivent vérifier quatre relations (A), (B), (G), (D), de la forme :

(A) g<a,-rgh(a,+ b,)-r-h't>, -t- g[a, — d,) -t-h(b,—dt) — d,= o,

(B) gha,+ gg'a,+h^b>+hg'b, + ga,e^h{b,-d,)- g'd, -d, = o,

(D) hia,-t-hg'{a,+ b,)-i-g'H,->- h{a,-c,) -t-g'{b,-e,) - c, = o.

où les a,, bi, c,-, d; sont des entiers, d’ailleurs quelconques.

peut ramener ces relations aux formes

h'-gg' = d-, „.g+ph + yg'-a,, avec les conditions

|3>-4c<5/>o; d>o-, w’-rf(|3’-4t!y)<<S;

les multiplications complexes sont données par

U = [ (,+c^ag + (^a-T)h]u + l yS + rg+,y^h-ip,

V = [-cce+ccah + (^c- u + [p-pe+Tk + y^g'^ p, (T, 0, T étant des entiers quelconques. Le nombre des systèmes («, v) répondant à un système (U, V) est

[p’— |3p9 + xy9‘-+ M(p(r — |3fe + t 0) — rf(r* — |3 vt + otyn')]',

et les multiplications de degré un s’en déduisent immédiatement.

106. Dans le dernier cas enfin, g, h, g sont liés par trois relations, dont trois ou une sont singulières. S’il y a trois relations singulières, les formules de multiplication complexe sont analogues aux précédentes, bien qu’un peu plus compliquées.

S’il y a une seule relation singulière, en excluant encore des cas elliptiques de multiplication elliptique complexe, deux hypothèses sont à faire, .selon que l’invariant correspondant à la relation singulière est pair ou impair.

Vimariant étant pair, la relation singulière peut être supposée du type

g = cg' (c>o),

et l’on a, pour déterminer h et g, deux relations de la forme mh‘ + 2 ,lhg' + cmg” + gg' H- rA H- s = O, n/i> 4- 2cmhg'+ cng' + crg'-t- qh -t-s'= u,

OÙ m, n, q, r, s, s sont des entiers. Ces deux équations, si l’on y regarde Il et g comme des coordonnées courantes, représentent deux coniques concentriques; pour qu’elles donnent pour h et g, et ensuite pour g, des valeurs formant un système normal de périodes, il faut et il suffit que les deux coniques se coupe^nt en quatre points imaginaires et que les cordes communes qui passent par le centre commun soient réelles.

Les multiplications complexes correspondantes s’obtiennent sous Vinmrimi étant impair, la relation singulière peut être ramenée

h et g vérifient alors deux relations de la forme

( /t - 1 - m) A* + 2 cmhg’ + cng'' + crg'+ (q + r)h+!/=<>, qui représentent encore deux coniques concentriques, assujetties aux mêmes conditions que les précédentes. Les multiplications complexes correspondantes sont explicitement données.

107. Dans ces deux derniers cas, il n’y a de multiplications complexes du premier degré que celles qui se déduisent de l’existence de la relation singulière entre g, h, ^, et qui rentrent dès lors dans les formules du n° 104; une seule exception a lieu pour les fonctions abéliennes dérivées du radical v/æ® + i, fonctions qui se rattachent au deuxième cas, et dont les périodes sont liées fit g —h + Je montre alors que les transformations birationnelles de la surface hyperelliptique correspondante en elle-même s’obtiennent en combinant, avec les substitutions U = ± « -)- const., V = ± e -t- const., les puissances des deux transformations

(O désignant e ‘ . La puissance cinq de la seconde transformation est d'ailleurs la transformation unité.