VIII. — Surfaces hyperabéliennes

108. Les formules qui donnent les périodes G, H, G', déduites de g, h, g' par une transformation ordinajre du premier ordre, ne sont pas linéaires : M. Picard a observé qu’elles le deviennent si l’on fixe

la valeur de la quantité - g^, et il a ainsi obtenu un groupe de substitutions à deux variables qu'il a nommé groupe hyperahélkn. Les fonctions hyperabéliennes sont celles qui demeurent invariables par les substitutions du groupe, et comme trois d’entre elles sont liées par une relation algébrique, ou arrive ainsi à la notion de surfaces hyperabéliennes : mais l’équation d’aucune surface de cette nature n’avait été explicitement obtenue. M. Bourget, dans sa Thèse de Doctorat, a étudié de plus près le groupe de M. Picard et montré qu’il se réduit à cinq substitutions fondamentales; il a étudié aussi les sousgroupes qui laissent invariables les modules des fonctions abéliennes initiales.

D’après cela, les modules des fonctions abéliennes qui vérifient une relation de la forme singulière, h? — g^=d, sont liés par une équation donnant une surface hyperabélienne qui correspond à un sousgroupe du groupe complet de M. Picard. Dans le cas de = 2 , c’està-dire d’une relation singulière d’invariant huit, j’ohtiens ainsi lasurface hyperabelienne du quatrième ordre (69) ;

Les coordonnées x, y, z s’expriment, à l’aide des fonctions thêta normales du premier ordre d’arguments nuis, par les formules

J’en déduis que l’on peut exprimeren fonction uniforme (hyperabélienne) de deux paramètres les sept quantités

où « et v sont arbitraires.