IX. — Surfaces remarquables du quatrième ordre
109. Les fonctions intermédiaires singulières m’ont conduit (68) à d’intéressantes surfaces d’ordre quatre.
Soit, par exemple, la relation singulière g — Dg''= o; considérons
-Bi¬
les fonctions intermédiaires normales, de caractéristique ( 0 , 0 , 0 , o) et d’indices il et 2 /c, tels que
Huit de ces fonctions, linéairement distinctes, sont paires; quatre d’entre elles ont leurs développements de Maclaurin autour du point « = 0 , e = 0 , commençant par des termes du quatrième ordre.
La surface pour laquelle les coordonnées homog'enes d’un point sont proportionnelles à ces quatre fonctions est à’ordre quatre, et possède quinze points doubles qui correspondent aux quinze demi-périodes
On obtient ainsi des surfaces du quatrième degré à quinze points doubles, byperelliptiques, dépendant de deux modules arbitraires et d’un entier D ; ce ne sont pas les surfaces les plus générales à quinze points doubles, car celles-ci dépendent de quatre modules ; les nôtres doivent dès lors satisfaire à une condition géométrique indépendante de D. J’ai pu trouver cette condition qui s’énonce ainsi :
Projetons la surface sur un plan à partir d'un des quinze points doubles, le contour apparent se compose, comme d’ordinaire, d'une conique et de quatre droites; pour les surfaces ci-dessus définies, U existe une courbe de second ordre circonscrite au triangle formé par trois des droites, tangente à la conique et passant par les points communs à cette conique et à la quatrième droite.
J’obtiens des surfaces analogues en partant de la relation singulière
-h A — Dg-'= O, à l’aide des fonctions intermédiaires, de caractéristique ( 0 , 0 , 0 , 0 ), et dont les indices, al' et akf, vérifient
HO. Revenant enfin au premier cas, j’observe qu’il y a quatre fonctions impaires, de caractéristique (o, 0 , o, 0 ), d’indices al et ak-, la surface pour laquelle les coordonnées d’un point sont proportionnelles à ces quatre fonctions est encore A'ordre quatre; elle possède deux groupes de seize droites formant une configuration remarquable : chaque droite d’un groupe rencontre en effet dix droites de l’autre groupe.
