II. — Courbes de genres un et zéro

U. Dans ma thèse de Doctorat (3), j’avais appiiqué des méthodes anaiogues à i’étude des eourbes de genre un; parmi ies résuitats qui me sont personnels, on peut citer ies suivants :

J’indique, étant donnée i’expression des coordonnées des points d’une courbe de genre un en fonction eiiiptique d’un paramètre, ie moyen de reconnaître si eiie est de genre un ou zéro, à i’aide d’opérations aigébriques simpies. Dans le premier cas, je forme son équation sans introduire de facteurs étrangers, ainsi que les équations de ses adjointes d'ordres n — 3, n — 2, n — i, en désignant son degré parn.

12. Les notes 4, 5, 6 se rapportent à ce genre de recherches; plus sommaires que le Mémoire complet, elles renfermaient une lacune qu’un géomètre allemand, M. Schlesinger, a cru devoir relever dans les Comptes rendus, puis dans les Mathemalische Annalen; averti par M. Nôlher, il a reconnu ensuite, dans une Note insérée à ce dernier Recueil, l’exactitude absolue et complète des résultats de ma Thèse.

si l’on appelle pôles principaux les quatre points par rapport auxqnels la courbe est anallagmatiquc :

Les huit points à distance finie communs à deux cycliques homofocales sont sur une cubique circulaire qui contient les quatre pôles principaux et les points dUntersection des droites les Joignant deux à deux.

Les tangentes menées en ces huit points à une des cycliques touchent une conique inscrite à la cyclique.

On retrouvera plus tard, appliquées à l’espace, les autres propriétés nouvelles des cycliques planes; le théorème suivant mérite toutefois d’être signalé :

Les bissectrices de tout système de cordes communes à une cyclique et à un cercle coïncident avec les bissectrices des droites qui joignent le centre du cercle à deux points fixes {qui sont les deux foyers singuliers réels de la cyclique).

16. La Note 7 donne des propriétés des couples de points conjugués dans un des douze systèmes (semi-principaux) pour lesquels s est égal à un quart de période, en exceptant les quatre demi-périodes qui correspondent aux systèmes principaux. A chaque système semiprincipal est lié un point o (semi-pôle), et les conjugués des quatre points où la cyclique est coupée par une droite quelconque issue de o, sont sur une seconde droite passant aussi par o. Le segment déterminé par deux points conjugues dans un système semi-principal est divisé harmoniquement par deux droites fixes concourant au semipôle correspondant.

17. Dans la Note 10, j’applique aux courbes unicursales une méthode analogue à celle qui m’a donné l’équation des adjointes d’une courbe de genre un; j’arrive ainsi, étant connue la représentation paramétrique d’une courbe unicursale d’ordre n, à trouver directement, de la manière la plus simple, ses courbes adjointes d’ordres n — i