REPRÉSENTATION DES FONCTIONS

Séries trigonométriques.

Séries de Fourier. — On appelle série de Fourier d’une fonction f(x) la série - a 0 + ( a n cos nx + b n sin nx ),

dans laquelle on a :

de Fourier dans des cas simples, mais déjà pratiquement fort étendus [87, chapitre i cette méthode n'est pas sans analogie avec celle que M. Kneser publiait au mê

Le procédé de M. Fejér n'est pas le seul qui résolve la question. Nous avons qu’en intégrant terme à terme la série de Fourier d’une fonction /, on obtient v série uniformément convergente représentant la fonction primitive F de f; or, c<

donnée : celle de Weierstrass, basée sur l’emploi d’une intégrale déjà rencontrée par Laplace dans les questions d’approximation de grands nombres et par Fourier

celle de M. Fejér et celle, alors toute récente, de M. Landau. Toutes ces démonstrations utilisent une intégrale singulière J" y(t — x,n)f(t)dt qui converge unifor-

sidérablemcnt de celles qu’on utilise généralement pour la généralisation des séries

jr. l’intégrale de M. Fejér, que M. Fatou 1. F. Riesz pour l’intégrale de M. Landau.

A L’occasion de ces recherches, j’ai été conduit [2]

être le raisonnement par lequel Stieltjès démontrait,

Laplace sur l’approximation des fonctions de grands :

pour l’intégrale de

suffira de prendre un développement de Taylor autour, par exemple, du point x* == i ; ■le développement procède alors suivant les puissances de i — x' et il est valable pour — a* < œ* < 2 + a*.

Pour étendre le théorème de Weicrstrass aux fonctions de plusieurs variables, j’ai utilisé un procédé qui, depuis, s’est révélé fort commode. Soit à représenter f(oc, y); prenons les points x = ma, y = nb, a et b étant deux constantes et m

-sente le mieux, le polynôme de Tchebycheff, le la différence entre /(«) et le polynôme est la meilleure approximation e m ' [/(æ)J, Si maintenant on prend successivement pour /(a?) toutes les fonctions de C\ le maximum e m « des e m '[/(a;)], dont la détermination dépend d'un problème du calcul -des variations, est le seul nombre que l’on puisse attacher à la classe C\ Il n’est -nullement évident que l'ordre infinitésimal de chacun des V[/(*)]» en tant que fonction de —, ne soit pas supérieur à celui de e wl '. On verra qu’il en est parfois ainsi pour certaines classes de fonctions.

Les mêmes questions peuvent être posées pour l’approximation des fonctions -continues de période an par des suites de Fourier d’ordre m; grâce à M. S. Bernstein et à M. de la Vallée Poussin, nous savons maintenant qu’il y a pour ainsi dire identité entre ce problème et le précédent; au moment où je travaillais ces questions, on savait simplement que les deux problèmes étaient très voisins et très intimément liés. C’est du second que je me suis occupé [15]; les résultats que j’ai

.(H) .■ • . ■ - IA* + h) }A*.

de la classe C‘“ définie par la condition de Lipschitz-Dini :

.(la) ft/(« +• A)

de la classe C‘ v , définie par la condition :

<p(8) étant une fonction dont la principale propriété est que n’est pas croissant. Toutes ces fonctions sont supposées continues et de période arc.

Pour ces fonctions, j'ai étudié l’ordre de grandeur des coéfficients dé Fourier : «»,[/c®)] et “»»■> l’ordre de grandeur du m ièmo reste de la série de Fourier : R„, [/(»)] et R,„; l’ordre de grandeur de la meilleure approximation par des suites de Fourier •d’ordre m : .. [f(x)] et e,„.

Les deux premières questions sont bien liées puisque, je l’ai dit, l’étude du reste de la série de Fourier est comparable à celle des coefficients de Fourier a m et b m ; on verra dans un instant comment on peut passer de là à la dernière question. Pour les deux premières, voici les résultats : La classe C ,v contenant C‘ et Ç“, il -suffit de les énoncer pour Ç, C" 1 et C ,Ÿ ; on a :

qui ait été obtenu ; depuis, les familles pour lesquelles on sait fixer l’ordre d’approxi-

Représentation des fonctions de Baire.

s fonctions de classe un. — Les représentations de fonctions discontinues» il a été question dans ce Chapitre, n’étaient valables qu’exception faite des i d’un ensemble de mesure nulle; de sorte qu’on, représentait en réalité, non ne fonction donnée/(æ), mais toutes les fonctions équivalentes k f(x) au point

M. Baire appelle fonctions de classe zéro, les fonctions continues; les fonctions de classe un sont les fonctions discontinues qui sont limites de fonctions continues; par fonctions de classe n, il désigne toutes les fonctions qui n'appartiennent pas aux classes inférieures à n et qui sont pourtant limites de suites de fonctions appartenant

peut être un nombre transfini.

M. Baire a prouvé que, pour qu’une fonction soit de classe un, il faut et il suffît admette nécessairement des points de continuité quand on ne la considère qu’aux

démontré l’énoncé précédent pour les fonctions d’une variable et il déclarait ne pas savoir s’il était encore exact dans le cas de plusieurs variables. Au lendemain de sa Thèse, j’ai montré que l'énoncé de M. Baire était général; ce fut l’objet de la première Note que j’ai présentée aux Comptes Rendus [41] ; peu de temps après, M. Baire

général.

Le procédé que j’ai employé repose essentiellement sur l’emploi des courbes, telles que celles de Peano et d’Hilbert, qui remplissent tout un domaine. Pour qu’une fonction soit de classe tin, dans un carré par exemple, il faut et il suffît qu’elle soit

celles que l’on appelle des fonctions continues en un point ou continues à s près* En même temps, je donnais une autre forme à la condition nécessaire et suffisante : Pour qu’ une fonction f soit de classe un au plus, il faut et il suffit que le domaine où elle est définie puisse, quel que soit e > o, être considéré comme la somme dune infinité dénombrable densembles fermés sur chacun desquels f est continue à moins de e

c) aux fonctions f(x, y) continues séparément par rapport aux deux variables dont elles dépendent; toutes ces fonctions sont de classe un.

J’avais déjà donné une démonstration très simple relative aux cas b) et c) dans mon premier travail [19]. M. Borel a inséré dans ses Leçons sur les fonctions de variables réelles, une autre démonstration relative au cas b) que je lui avais communiquée.

L’examen du cas c) était tout indiqué, car M. Baire avait étudié simultanément les fonctions d’une variable qui sont de classe un et les fonctions d'une variable déduites des fonctions relatives à ce cas C). J’ai montré [19] qu’une fonction de n variables,