IX. — Fonctions elliptiques

J'ai fait fort peu de chose sur les fonctions elliptiques. Cependant j'ai donné, dans un Mémoire d'Arithmétique (1, 97), une façon d'exprimer ces fonctions à l'aide d'une intégrale définie. On sait que les fonctions doublement périodiques

peuvent se décomposer en éléments simples de la forme ^^V. ou de la forme

rf" (t'(m — a)

du"^ (j{u — a)

Il suffit donc d'exprimer par une intégrale définie la fonction

OÙ MP' = a (xci) -h 2(x'a)' et où (jl et \s! peuvent prendre tous les systèmes de valeurs entières positives et négatives, excepté (x = [ji'= o. On pourra évidemment décomposer la série du second membre en quatre autres : la première comprenant les termes où (jl et \sJ sont positifs, la seconde les termes où (x est positif et \k' négatif ou nul, la troisième ceux où (x est négatif ou nul et (x' positif, la quatrième enfin ceux où (X et [x' sont négatifs ou nuls. Cette décomposition est analogue à la décomposition de ir cotarir en une somme de deux termes dépendant des fonctions eulériennes

Cette généralisation des fonctions eulériennes est analogue, mais non identique k celle qu'a donnée M. Appell.

Il suffit alors d'exprimer, par une intégrale définie, la première de nos séries partielles, car les autres s'y ramènent aisément. On trouve que cette série partielle s'exprime par une intégrale prise par rapport à z entre les limites o et qo, la fonction sous le signe / étant rationnelle par rapport à s et à diverses exponentielles de la forme e^. Il est donc possible d'exprimer de la même manière toutes les fonctions doublement périodiques.

J'ai été conduit aussi d'une façon incidente à m'occuper des fonctions elliptiques en les considérant comme des cas particuliers des fonctions fuchsiennes ('). J'ai retrouvé ainsi la plupart des formules connues et, en particulier, l'expression des fonctions a deux périodes par des séries trigonométriques. J'ai été conduit par la même voie à une formule que je crois nouvelle et qui permet d'exprimer les fonctions elliptiques par une série infinie d'une forme particulière.