X. — Fonctions abéliennes

La théorie des fonctions abéliennes est loin d'être aussi avancée que celle des fonctions elliptiques. Un grand nombre des propriétés de ces dernières transcendantes ne s'étendent pas ou ne s'étendent que difficilement au cas général. On ne doit pas s'en étonner si l'on se rappelle que beaucoup de propriétés des fonctions d'une variable ne sont plus applicables aux fonctions de plusieurs variables. C'est la même difficulté qui nous a occupés au paragraphe VIL

On a été conduit aux fonctions abéliennes par l'étude des intégrales abéliennes, et un des premiers faits que l'on a remarqués est la possibilité de la réduction de ces intégrales. Jacobi en a déjà rencontré quelques exemples; dans des cas assez nombreux, on voit des intégrales appartenant à une courbe de genre p se réduire à des intégrales de genre inférieur à p ou même à des intégrales elliptiques. Mais on est bientôt amené à se placer à un point de vue plus élevé; les fonctions 6, qui doivent leur origine aux intégrales abéliennes de première espèce, ne sont qu'un cas particulier des séries 6 les plus générales. Mais il est aisé de voir qu'à ces transcendantes plus générales appartiennent des intégrales, qui sont, il est vrai, des intégrales de différentielles totales, mais qui peuvent néanmoins être regardées comme la généralisation des intégrales de première espèce. 11 est alors naturel d'appliquer à ces intégrales le procédé de la réduction; le problème primitif reçoit une importante extension; mais, par la suppression d'une restriction gênante, il est simplifié et non compliqué; car on peut

(') Sur les fonctions fuchsiennes (passim).

désormais introduire dans ses raisonnements des fonctions 6 quelconques, sans avoir à s'inquiéter de leur origine.

Les géomètres se sont de longue date préoccupés de ce problème, qui doit nous fournir d'importantes données sur les fonctions algébriques, et qui est un des meilleurs chemins pour pénétrer dans le domaine mystérieux des fonctions abéliennes. Dans ces derniers temps, M. Picard, par une série de brillants travaux, lui a fait faire plusieurs pas importants.

Mes premiers essais dans cet ordre d'idées ne portent que sur un cas particulier. Ainsi que je l'ai expliqué plus haut, dans le paragraphe intitulé : Intégration des équations linéaires par les fonctions algébriques^ si l'intégrale générale d'une équation linéaire est algébrique et si, à l'aide de cette intégrale générale, on forme un système d'intégrales abéliennes de première espèce, il y a entre les périodes de ce système un grand nombre de relations intéressantes. J'avais là un moyen (39) de pénétrer plus profondément dans l'étude des fonctions abéliennes, et je résolus d'en profiter. Je choisis comme exemple particulier le système d'intégrales abéliennes que l'on peut former à l'aide de la résolvante de Gallois de l'équation modulaire relative à la transformation du septième ordre. Je trouvai que les relations qui existent entre les périodes suffisent pour les déterminer complètement. Étant parvenu ainsi à calculer ces périodes, je m'aperçus que, parmi les intégrales abéliennes de ce système (qui est du genre 3), il y en a une infinité qui sont susceptibles d'être réduites aux intégrales elliptiques. C'était là un troisième exemple d'une circonstance remarquable, déjà signalée deux fois par M. Picard.

Mon attention fut de nouveau attirée sur cette question par un Mémoire de M'"^ Kowalevski, où se trouvaient cités deux théorèmes de M. Weierstrass, sur la réduction des intégrales abéliennes aux intégrales elliptiques. Ces deux théorèmes avaient été communiqués à divers savants par des lettres du professeur de Berlin, mais la démonstration n'en avait pas été publiée. J'ai donné (87) deux démonstrations différentes de ces deux propositions; j'ignore encore si mes méthodes sont identiques à celles de M. Weierstrass. Toutes deux sont empruntées à l'Arithmétique, et l'on ne doit pas s'en étonner, car le problème est en réalité purement arithmétique. La première démonstration se fonde sur la considération des formes bilinéaires. Dans la seconde, j'emploie un procédé particulier de réduction Je suppose que dans un système d'intégrales de genre p, il y en ait [x qui soient réductibles au genre [i.. Leurs 2p périodes, ou périodes anciennes, s'exprimeront alors à l'aide de a [jl quantités, qui seront les périodes nouvelles, par des polynômes linéaires à coefficients entiers. On peut donc dresser un Tableau de l\p\k nombres entiers qui caractérise la réduction. Mais ce Tableau peut

être écrit d'une infinité de manières; car on peut remplacer, soit le système des périodes anciennes, soit le système des périodes nouvelles par un système équivalent. Le problème est précisément de profiter de cette circonstance pour réduire le Tableau à sa plus simple expression. Dans ma seconde méthode, la réduction se fait par une série d'opérations toutes pareilles entre elles.

Je profitai des avantages de ces deux méthodes pour généraliser les deux théorèmes de M. Weierstrass et les étendre au cas de la réduction des intégrales abéliennes à d'autres intégrales abéliennes.

Le théorème de M. Weierstrass était plus général en un sens que le théorème de M. Picard sur le même sujet; ce dernier ne s'appliquait en effet qu'à la réduction du genre 2 au genre i ; le géomètre allemand avait étudié la réduction d'un genre p quelconque au genre i. D'autre part, le théorème de M. Picard contenait plus que celui de M. Weierstrass, car la réduction y était poussée plus loin. Était-il possible de trouver une proposition qui contint h la fois celle de M. Weierstrass et celle de M. Picard, c'est-à-dire de pousser dans le cas général la réduction aussi loin que ce dernier analyste? L'application de ma seconde méthode m'a fait reconnaître (61, 83) que cela peut se faire sans difficulté.

Le même procédé me permit en même temps d'étudier le cas général (réduction d'un genre p quelconque, non plus au genre i, mais à un genre [a également quelconque) et de pousser la réduction beaucoup plus loin que je ne l'avais fait dans mon premier travail. Le théorème auquel je fus ainsi conduit contient, comme cas particulier, toutes les propositions antérieurement découvertes et résume ainsi toute la théorie.

Un cas particulier bien digne d'intérêt est celui où une infinité d'intégrales d'un même système se réduisent aux intégrales elliptiques. M. Picard en avait déjà rencontré deux exemples, et il semblait probable que, dans un système d'intégrales de genre p, il ne pouvait y avoir plus de p intégrales réductibles sans qu'il y en eût une infinité. J'ai démontré (49, 83) qu'il en était efiectivement ainsi et j'ai trouvé en même temps les relations fort simples qui unissent entre elles les intégrales réductibles.

Les méthodes que je viens d'exposer permettent une classification rationnelle des cas de réduction. Mais cette classification, à côté d'incontestables avantages, présente un inconvénient grave : elle ne distingue pas du cas général les cas particuliers où les intégrales abéliennes à réduire appartiennent à une courbe algébrique. Ces derniers ne présentent pas d'intérêt spécial au point de vue de la théorie des fonctions abéliennes; mais ils en ont un fort grand, au contraire, si l'on se propose pour but l'étude des fonctions algébriques. Il importait donc de trouver une classification nouvelle, ne portant que sur ces cas particuliers et

laissant de côté tous les autres. J'ai indiqué (58) un moyen d'arriver à ce résultat par l'étude de la transformation des fonctions fuchsiennes; mais je n'ai pas eu le temps d'approfondir cette théorie.

L'étude systématique des fonctions abéliennes devait naturellement commencer par l'examen des cas de réduction, la suite de cet exposé le fera suffisamment comprendre; mais ce n'était qu'un premier pas, et bien d'autres problèmes restaient à résoudre.

On vient de voir que les fonctions 6, définies k l'aide des intégrales abéliennes de première espèce, ne sont que des cas très particuliers des séries les plus générales. On peut donc concevoir une infinité de fonctions de n variables, admettant 2/1 systèmes de périodes et ne rentrant pas dans la catégorie spécialement étudiée par Kiemann. Ces fonctions peuvent-elles être toujours regardées comme le quotient de deux fonctions 6? Riemann était parvenu à le démontrer; mais il n'a jamais publié sa démonstration. M. Weierstrass a retrouvé le même résultat, mais il n'a pas publié non plus la méthode dont il s'est servi.

Abordant l'étude de ces fonctions, que je n'assujettissais qu'à la condition d'être périodiques (11), je reconnus qu'on pouvait toujours les tirer des fonctions abéliennes ordinaires, obtenues par la méthode d'inversion de Jacobi, en appliquant le procédé de la réduction des intégrales abéliennes.

Dans ces conditions, nous devions naturellement songer, M. Picard et moi, à unir nos efforts pour retrouver le résultat de Riemann. Nous reconnûmes (40) qu'il devait y avoir entre les périodes les mêmes relations que dans le cas particulier des fonctions nées de l'inversion des intégrales abéliennes. Il était aisé d'en conclure que toutes les fonctions à n variables et à un périodes s'expriment par le moyen des séries 6.

L'existence de ces fonctions périodiques, en face desquelles le procédé de l'inversion est impuissant, fait mieux ressortir la nécessité où nous nous trouvons d'établir la théorie des fonctions abéliennes en partant des séries 6 elles-mêmes. On sait qu'il est possible de fonder sur l'étude directe des fonctions 6 à une seule variable toute la théorie des fonctions elliptiques; le point de départ est ce fait que l'équation

n'a qu'une seule racine à l'intérieur du parallélogramme des périodes. De là l'importance du problème suivant, dont la solution (85, 11) doit évidemment précéder toute étude directe des séries 6 à plusieurs variables : Combien les équations simultanées *

OÙ les a, les 6, . . ., les / sont des constantes données, ont-elles de solutions distinctes? A l'aide d'une formule de M. Kronecker, j'ai pu démontrer que ce nombre est constant et indépendant des périodes, ainsi que des constantes a, 6, ...,/. Il me fut facile ensuite, en envisageant le cas particulier où la fonction 6 se réduit à un produit de n fonctions 6 elliptiques, de démontrer que ce nombre est précisément i . 2 . 3 . . . tï.

J'appliquai aussi la même méthode à des équations analogues aux équations (i), mais plus compliquées, et je trouvai le nombre des solutions distinctes qu'elles doivent avoir.

Mais il y a plus; dans le cas des fonctions elliptiques, on trouve aisément la valeur de la racine de l'équation

Si l'on a affaire à des équations analogues, mais plus compliquées, on peut encore trouver la somme des racines.

Revenant aux fonctions abéliennes et aux équations (i), on peut alors se demander (54, 83) s'il est possible de trouver la somme des valeurs de x^ , celle des valeurs de a?,, etc., qui satisfont à ces équations. Ce problème est plus compliqué que le précédent, dans lequel le nombre cherché était une constante; cette circonstance permettait de se restreindre à un cas particulier, et l'on était ainsi immédiatement ramené aux fonctions elliptiques. Il n'en est plus de même ici; les nombres cherchés ne sont plus des constantes, mais des fonctions des périodes.

Toutefois le problème est immédiatement résolu quand on est ramené aux fonctions elliptiques, c'est-à-dire quand on se trouve dans un des cas de réduction étudiés plus haut. Quand, dans le système d'intégrales abéliennes de genre /i qui correspondent aux fonctions 6 envisagées, il y a n intégrales distinctes réductibles aux intégrales elliptiques, il est aisé de voir que les fonctions 6 abéliennes s'expriment très simplement à l'aide de fonctions 6 elliptiques. On peut alors, par l'application du théorème d'Abel généralisé (cf. § VIII) résoudre complètement le problème qui nous occupe.

Le système des périodes d'une fonction 6 quelconque diffère toujours infiniment peu d*un système de périodes correspondant à un cas de réduction. C'est là une circonstance qui donnera, je n'en doute pas, la clef de bien des problèmes. Elle nous donne en particulier la solution que nous cherchons.

Nous connaissons la somme cherchée des valeurs de x toutes les fois que nous nous trouvons dans un cas de réduction. Or cette somme doit être une fonction continue des périodes; nous la connaîtrons donc dans tous les cas possibles. C'est ainsi que, si l'on connaît une fonction co/i/mi/^ de x pour toutes les valeurs com-

mensurables de la variable, on la connaîtra également pour toutes les valeurs incommensurables.

On peut encore se placer à un autre point de vue pour étudier les zéros des fonctions 6. Considérons une fonction 6 de deux variables S(x^y). Soient (a, ^), (y, S) deux périodes de cette fonction. Écrivons Téquation

ou / et e^ sont des nombres assujettis à rester réels et compris entre o et i. Cette équation ainsi interprétée admettra un certain nombre de solutions. Je serai conduit, par des considérations qui ne sauraient trouver place ici, à les distinguer en deux espèces. Soient alors N| le nombre des solutions de la première espèce, Tf la somme des valeurs correspondantes de /, U, celle des valeurs de u. Soient N^, T3 et U2 les quantités analogues en ce qui concerne les solutions de la seconde espèce. On peut se proposer de déterminer les nombres N, — N^, T| — Ta, Ui - U,. .

Je suis parvenu par une métbode assez simple (54) à déterminer N, — Nj. On obtient ainsi divers renseignements importants au sujet du nombre total des solutions N, -f- N2. Ce nombre est en effet toujours supérieur à N, — Na et il est de même parité.

On peut arriver au même résultat par l'emploi des intégrales doubles prises entre des limites imaginaires. J'ai lieu d'espérer de plus que la même considération pourra conduire à la valeur de T, — T^ et de U, — Uj.