Théorie nouvelle des ondes lumineuses

60. — Exposition synthétique des principes de la théorie nouvelle des ondes lumineuses.

Exposons rapidement les principes de cette théorie, la plus simple de toutes celles qui ont été proposées et la seule, au dire dé jugés éminents, qui rende compte de l’ensemble des phénomènes optiques.

L’idée naturelle que nous nous formons de l’éther lumineux est celle d’un fluide dans un état de raréfaction et de division extrêmes, qui se comporterait, par rapport à chaque molécule des corps pondérables, comme font l’eau ou l’air à l’égard des solides de dimensions perceptibles qui y sont plongés ; fluide dont la densité serait en quelque sorte nulle, soit en comparaison de la densité apparente de la matière pondérable, soit surtout en comparaison de la densité réelle des molécules ou groupes atomiques qui la constituent. En effet, les géomètres ont été conduits, comme on sait, à penser que les molécules chimiques dont se compose un corps laissent entre elles des espaces beaucoup plus grands que ceux qu’elles occupent : ce qui réduit d’autantla densité des corps par rapport à celle de leurs molécules prises 1 à part. L’éther doit donc circuler, entre de pareilles molécules, aussi librement que l’air à travers un filét à mailles larges, et en y conservant, comme lui, la même élasticité et la même densité générale que si ces molécules pondérables n’y étaient pas plongées. Pour s’expliquer une telle constitution, il suffit de composer l’éther d’atomes disséminés, ou non groupés en molécules compactes comme celles des corps palpables, et d’admettre, par suite, que les forces qui régnent dans cette poussière d’atomes ne conservent une certaine intensité qu’à des distances au plus comparables aux dimensions d’une molécule chimique et presque nulles en comparaison de la distance ordinaire de deux molécules : telles doivent être, du reste, les actions mêmes qui tiennent groupés ensemble, dans chaque molécule pondérable, les divers atomes qui la composent. De telles forces pourront bien donner à l’éther une élasticité relativement très grande, mais ne subsistant que pour des vibrations et des déformations d’amplitudes excessivement petites, au-delà desquelles les limites de cette élasticité se trouveront, comme' on dit, dépassées ; ên sorte que le milieu, soit par son élasticité, soit par son inertie, ne résistera pas beaucoup plus que le vide parfait au mouvement des corps qui le traverseront.

Supposons actuellement que d’imperceptibles mouvements vibratoires, excités du dehors, viennent à se propager au sein d’un pareil éther, ainsi entrecoupé çà et là de moléculespondérables. Celles-ci prendront inévitablement, et à l’instant même, une fraction finie de la quantité de mouvement transmise, sans que, pour cela, leurs déplacements aient besoin d'être, à beaucoup près, comparables à ceux de l’éther. L’auteur prouve aisément que, sauf dans le cas où- ces impulsions s’accumulent de manière à produire Vtchauffement (qui ne fait pas le sujet de l’examen actuel), les actions élastiques propres du corps, développées par les très-faibles déformations ainsi imprimées à l’assemblage des molécules pondérables, sont complètement négligeables devant celles de l’éther mises en jeu par ses déformations simultanées bien plus grandes. On peut donc, en optique, supposer chaque molécule pondérable isolée dans l’éther, comme si les autres n’existaient pas, et soumise uniquement aux impulsions du fluide contigu.

Dans des conditions pareilles, l’état de la molécule deviendra rapidement périodique, comme l’est celui de l’éther lui-même, et il sera dès lors une fonction déterminée de celui-ci. Gomme, de plus, les dimensions d’une molécule, ou même celles d’un élément de volume qui en contient plusieurs-, et aussi les excursions lumineuses de chaque espèce de matière, sont petites en comparaison d’une longueur d’onde, les déplacements vibratoires u, v, ro (suivant trois axes rectangulaires) de tout l’éther qui entoure aux divers instants un groupe de molécules pondérables, se trouveront les mêmes, à une première approximation, pour tout cet éther.

Par suite, à ce degré d’approximation , et vu la petitesse excessive des variables (qui permet en général de donner aux fonctions la forme linéaire), les déplacements analogues, «„ v„ des molécules pondérables comporteront des expressions du premier degré, en u , v , n , telles que

K, = k% -+- A'® -H A"®, = Bu ■+■ B'w -4- B"e, ®, = C® ■+• C'« -+- C"t,

A,A',A'',B,.... C" désignant des coefficients très-petits qui dépendent, pour chaque molécule, de sa masse, de sa figure et de ses dimensions. Les moyennes des composantes pareilles à l’intérieur d’un élément de volume , ou ce qu’on peut appeler les déplacements moyens de la matière pondérable, auront évidemment la même forme ; en sorte que, si ce sont ceux-là que représentent les formules ci-dessus, et si p désigne la densité de l’éther, p, celle du corps, les inerties, changées de signe, de toute la matière comprise dans l’élément vaudront, suivant les trois axes et par unité de volume,

dïu . / dH d l v „ \

f l 5 " æ 5' H A *ïj’ et °-

Et l’on aura les équations indéfinies du mouvement vibratoire, en égalant ces expressions aux composantes totales des forces élastiques de l’éther, composantes qui sont, avec les notations de Lamé, fa mili ères à tous les géomètres,

En effet, chaque molécule pondérable, n’étant soumise qu’aux impulsions de l'éther ambiant, alourdit celui-ci de toute la valeur de son inertie propre, sans modifier d’ailleurs son ressort; d’où il suit bien que les équations du mouvement se forment comme dans le problème d’une corde élastique vibrante, autour de laquelle est enroulé un fil massif, non tendu, entraîné avec elle. Seulement, les excursions de la matière pondérable ne sont ici qu’une fraction infiniment petite de celles de l’éther, fraction qui peut même varier, dans les divers sens, suivant la forme des molécules ou groupes ato- • miques et leur facilité correspondante à se laisser mouvoir.

Quand le corps est isotrope, c’est-à-dire pareillement constitué dans tontes les directions, sa matière se déplace, par raison de symétrie, suivant le même sens que l’éther vibrant, et les expressions des déplacements moyens des molécules se réduisent à Lu , A», Am. Les mouvements se font donc comme s’il n’y avait point de matière pondérable, mais que la densité de l’éther eût été portée de p à pp, A. Ainsi s’explique l’hypothèse de Fresnel, devenue classique, qui attribue à l’éther d’un corps la même élasticité qu’à l’éther libre, mais une densité plus grande : opinion qu’il convient d’abandonner et qui n’était qu’une manière de tenir compte de la participation de la matière pondérable an mouvement.

Après les milieux isotropes, viennent ceux qui admettent en chaque point trois plans rectangulaires de symétrie de contexture, dans chacun desquels la matière pondérable exécutera ses vibrations quand celles de l’éther y seront elles-mêmes contenues. Alors, devant s’annuler respectivement

dès que u, ou», ou» s’annulent, leurs expressions se réduisent à Au, B», Ci». Par suite, l’éther se comporte comme si, étant seul, il avait les trois densités p p. A, p -h p,B, p -t- p.C, pour les mouvements effectués respectivement dans les sens des trois axes. Ces différences, provenant de ce que les molécules

oequiuara,

et rien que ce qu’il faut, pour qu’une analyse simple, dans le cas des degrés assez faibles de biréfringence que présente la nature, conduise à l’onde de Fresnel, avec des vibrations dirigées comme le voulait Fresnel, à cela près, qu’au lieu d’ètre rigoureusement transversales, elles sont quasi-transversales comme le préfèrent les physiciens.

A une approximation plus élevée, il faut tenir compte de ce que la longueur d’onde peut n’être pas excessivement grande par rapport aux dimensions des molécules des corps, surtout des molécules intégrantes des solides, et encore moins par rapport aux arêtes d’unparallélipipède élémentaire, employé pour obtenir les équations du mouvement, et qui doit contenir un certain nombre de j molécules pour qu’on n’ait à introduire, dans les formules, que les déplacements moyens ou normaux de la matière pondérable existant en chaque èndroit. Donc, tous les atomes d’éther qui entourent et meuvent un pareil ensemble de molécules ne doivent pas être censés exactement à une même phase de leur vibration. Alors, pour définir l’état actuel de l’éther dans tout le champ considéré, beaucoup plus grand peut-être que l’amplitude des oscillations mêmes, il faut se donner, non seulement les valeurs des petits déplacements u, » ,m en un point du champ, mais aussi, au même point, leurs dérivées partielles successives (également très petites) par rapport aux coordonnées d’équilibre X, y, z.Les déplacements, w,, des molécules,

fonctions de l’état considéré, auront donc, en outre de leurs termes principaux en u, v, m trouvés tout-à-l’heure, d’autres termes, contenant linéairement ces dérivées

Des considérations d’isotropie perme ttront d’ailleurs de simplifier notablement ceux-ci ; car tous les corps transparents connus sont assez peu hétérotropes,

dispersion et de la polarisation rotatoire, avec, leurs lois expérimentales

L’auteur des mémoires analysés se dispense donc de ■ recourir 1 à" la considération d’équations aux dérivées partielles, linéaires mais à, coefficients périodiques en x, y , z, sur lesquelles d’autres essais de théorie ont fondé leurs • explications des phénomènes de dispersion et de polarisation rotatoire, l’un d’eux même celle delà double réfraction. Il évite par conséquent, lui seul, d’employer la méthode hardie, impliquant des hypothèses non justifiées, par laquelle Cauchy a tenté d’intégrer ces équations, méthode qui, au moins dans ses applications effectives avec développements en série, paraît conduire à des résultats contradictoires, suivant qu’un coefficient; périodique, la densité p, y affecte les seconds membres des équations (où sont ■ les dérivées , -^r) > 011 s u ivan t fihe 6’est son inverse — (déve¬

loppable en série au même titre, mais pas plus, que le coefficient lui-mèmej qui affecte le premier membre. M. Boussinesq avait reconnu, dès 1869, cette difficulté grave, que M. de Saint-Venant a signalée aux physiciens géomètres dans son mémoire Sur les différentes manières de présenter la théorie dés ondes lumineuses , publié en 1872 aux Annales de chimie et de physique (4 me série, t. xxv).

Après l’étude des phénomènes produits à l’intérieur des milieux homogènes transparents vient celle, non moins importante, des faits qui se passent à la surface de séparation de deux milieux. Il faut absolument pour les expliquer, comme l’a montré Cauchy, poser des conditions de continuité exprimant que, de part et d’autre de la surface, les déplacements u , v, m de l’éther, ainsi que leurs dérivées premières, suivant le sens normal, ont mêmes valeurs.

Or, ces conditions sont évidemment satisfaites dans le système de M.Bous- ' sinesq. Car, d’abord, l’éther formant un milieu continu, dont les corps ne changent sensiblement ni l’élasticité, ni la densité, les déplacements u,v,n> y varient graduellement partout. En outre, si l’on considère un mince feuillet matériel, pris à la surface de séparation avec ses deux faces respectivement dans l’un et l’autre milieu, et d’une épaisseur très-inférieure à une longueur d’onde (quoique comprenant toutes les couches de transition ), l’équilibre dynamique de ce feuillet exige que les pressions élastiques exercées de part et d’autre soient égales, comme il arrive, du reste, dans toutes les questions analogues où il y a des pressions à considérer. Or, vu la constance de l’élasticité

de l’éther et la continuité de u, », m de part et d’autre sur toute la surface, cette égalité revient précisément à celle des dérivées de u , », ii> suivant la normale, dans les deux milieux.

61. — Sur les lois qui régissent, à une ■première approximation (c'est-à-dire abstraction faite des pouvoirs dispersifet rotatoire), les ondes lumineuses propagées dans un corps homogène et transparent d'une contexture quelconque.

(Journal de Mathématiques, 1872; t. XVII, p. 160 à 114.)

Cette question, à peii près inabordable dans toute autre théorie par suite de la complication qu’elle y présenterait, ne conduit qu’à des calculs assez simples dans celle de M. Bonssinesq, à cause de son hypothèse fondamentale, d’une élasticité et d’une densité de l’éther constantes. B y démontre : 1° que la surface de l’onde, chez tout corps transparent, n’a jamais plus de deux axes optiques, et que les rayons lumineux compris dans le plan de ces axes ou, sensiblement, dans une zone de quelques degrés de part et d’autre, sont régis par les lois de Fresnel; 2° que, pour les cristaux des cinq premiers systèmes, où il y a un axe minéralogique normal au plan des autres et où une rotation, autour de cet axe principal, de 180” au plus, amène le cristal dans une position analogue à la première, le -corps se comporte comme s’il admettait trois plans rectangulaires de symétrie de contèxture, ce qui conduit aux lois de double réfraction connues ; 3° que, dans le cas le plus général possible (mais avec faible biréfringence), il y a un ellipsoïde d’élasticité, dont chaque demi-diamètre donne, par son inverse, la vitesse de propagation des vibrations ayant sa direction. Seulement, les deux systèmes possibles de vibrations , pour l’onde plane qui coupe l’ellipsoïde suivant une ellipse quelconque, ne sont plus rectangulaires, ni orientés suivant les axes de l’ebipse; mais leurs directions se trouvent, toutes les deux, également inclinées sur ces axes respectifs, d’un angle qui, nul pour les ondes ayant leur normale dans le plan des deux axes extrêmes de l’ellipsoïde, grandit, jusqu’à une limite plus ou moins grande (d’après la constitution du milieu), à mesure que cette normale se rapproche de-l’axemoyen; etc.

62 .—Audition au mémoireintitulé « Théorienouvelle des ondes lumineuses ».

(Journal de Mathématiques, 1868 ; t. XIII; p. «5 é 488.)

63. — Sur la vitesse de la lumière dans les corps en mouvement.

(Comptes-Rendus, 24 juin 1812 ; t. LXXIV, p, 1518, et Journal de Mathématiques, 1818 ; t. XVIII, p. 888.)

64. — Sur le calcul des phénomènes lumineux produits à l’intérieur des milieux transparents qu'anime une translation^ rapide , dans le cas où V observateur participe lui-méme à cette translation .

Ces recherches sont consacrées à trois questions qu’on n’avait pu traiter dans aucune autre théorie de la lumière.

La première a pour objet le calcul de la puissance réfractive et du pouvoir rotatoire des mélanges transparents (les dissolutions salines ou les mélanges gazeux, par exemple). Chaque molécule pondérable étant regardée comme indépendante des autres dans le mode d’explication analysé, les inerties' des diverses molécules comprises dans un élément de volume s’ajoutent simplement, et l’on trouve de suite, conformément à l’expérience, que lapuissance réfractive et le pouvoir rotatoire des mélanges s’obtiennent par l’addition des quantités pareilles relatives aux composants, lesquelles sont elles-mêmes proportionnelles aux densités de ceux-ci dans le mélange. Toutefois, on fait abstraction du pouvoir dispersif, et l’on suppose qu’il s’agisse de simples mélanges, non de combinaisons chimiques altérant la constitution des molécules.

La deuxième question, d’une grande importance, est l’étude des ondes lumineuses dans un corps animé d’une translation rapide. L'auteur, admettant que l’éther peut circuler librement entre les molécules du corps comme à travers un filet à larges mailles, suppose qu’il n’est pas entraîné d'une manière appréciable, c’est-à-dire avec une vitesse comparable à celle du corps lui-mème. Mais, à la translation des molécules se superpose, par le fait de la lumière ou des impulsions périodiques et alternatives qui les atteignent, l’imperceptible mouvement vibratoire que l’éther contigu leur communiquerait si elles étaient en repos , mouvement à' l’unisson de l’éther et représenté

par les déplacements u l} v ( , déjà exprimés plus haut en fonction de ceux, u, », iv, de l’éther. La vitesse vibratoire et l’accélération vibratoire d’une molécule pondérable s’obtiendront toujours en substituant, dans ces expressions gui sont linéaires, à u, », m leur dérivées premières et secondes par rapport au temps : seulement, comme ici la molécule atteint successivement un éther toujours nouveau, et que c'est en accord, avec cet éther qu'elle vibre, les dérivées de u, », rc dont il s’agit 's’évalueront, dans ces formules de ni, v h rc,, en faisant croître à la fois t de dt et x, y , x des produits respectifs de dt par les trois composantes de la vitesse transitoire donnée, qu’on peut supposer constante pendant toute la durée du passage d’une onde lumineuse à côté de la molécule. De là, des expressions des inerties vibratoires de la matière pondérable un peu moins simples que celles qu’on aurait si le corps était en repos, et qu’on trouve pouvoir se déduire de cellesci en concevant la densité du corps multipliée fictivement par le carré (i — , où v désigne la composante de sa vitesse de translation sui¬

vant la normale aux ondes et u la vitesse de propagation. L’on obtient enfin, pour calculer cette dernière, c’est-à-dire pour calculer la vitesse effective , de la lumière dans l’étber que traverse le corps, une expression, s’accordant, non-seulement avec la célèbre formule approchée, que ï’resnel tira par induction d’une expérience d’Arago et que de belles observations de M. Fizeau ont confirmée, mais, même, avec une légère correction, relative aux pouvoirs dispersifs, que de délicates expériences de M. Mascart ont fait introduire dans cette formule (postérieurement à l’époque où M. Boussinesq avait publié tous les principes de cette analyse),, correction consistant à exprimer que la vitesse de la lumière dépend à fort peu près, non pas de la période réelle des vibrations lumineuses, mais de leur période apparente pour un observateur entraîné par le corps.

La troisième question concerne la polarisation rotatoire spéciale que présente un corps transparent, naturellement isotrope-symétrique, quand on le place entre les deux pôles d’un aimant. L’auteur y arrive, par une analyse simple, à toutes les lois expérimentales du phénomène ; mais il a besoin d’une nouvelle hypothèse, nécessaire et suffisante. Elle consiste à admettre que les expressions des déplacements u ,, vi, mi de la matière pondérable, déjà fonctions de ceux f «,», m, de l’étber, peuvent le deveniraussi des vitesses de ce dernier etacquérir^ par conséquent, des termes linéaires, en que, d’ailleurs, le genre

i champ .magnétique réduit à un seul (efficient. H nous faudra probablement des phénomènes électriques et magnée leur intervention expliquerait cette

attendre

65. V- Action réciproque de deux molécules , dérangé de son état primitif d'équilibré.

66. — Recherches sur les principes de la mécanique, dur la constitution ■ ' moléculaire des coips et sur une nouvelle théorie des gaz parfaits.

quement les phéi

) cet autre principe, quelesdi\ ; accélérations parfaitementdé

travail total des actions moléculaires exercées, de l’extérieur, à travers un élément de la surface d’un corps, et le travail de la pression obtenue en composant ces forces comme si elles étaient appliquées au centre de gravité de l’élément plan. En effet, ce centre n’éprouvant que le déplacement moyen ou perceptible des points d’application véritables, le travail de la pression ne comprend que la partie des travaux des forces considérées qui correspond au mouvement visible ou d’ensemble ; en sorte qu’il laisse de côté le travail des mêmes actions pour le mouvement calorifique superposé au mouvement apparent , travail connu des physiciens comme étant la chaleur entrée dans le corps par l’élément plan, et que les auteurs de thermodynamique ajoutent sans en donner la signification mécanique précise. M. Boussinesq remarque doue que les pressions, ou résultantes dynamométriquement mesurables des forces moléculaires , tout en étant très propres à représenter ces forces dans les calculs des quantités de mouvement et même des moments, ne le sont plus, dans les calculs de travail ou d’énergie, lorsqu’il faut tenir compte des échanges de chaleur : réflexion importante, sans laquelle il n’est pas possible de s'expliquer d’une manière précise le premier grand principe de la thermodynamique , qui est celui de l’équivalence de la chaleur et du travail.

67. — Construction géométrique des pressions i quelconque â!un corps.

8. — Sur la construction géométrique des pressions que supportent les divers éléments plans se croisant en un même point d’un corps et sur celle des déformations qui se produisent autour d'un tel point.

L’auteur, après avoir défalqué de toutes les pressions qui s'exercent en un même point d’un corps une composante normale égale à la demi-somme des deux pressions principales extrêmes, ramene a une construction plane la représentation de toutes ces forces , pour laquelle l'ellipsoïde d?élasticité de Lamé exigeait l’emploi des trois dimensions ; et il peut alors, sans calcul, démontrer plusieurs résultats, touchant les plus grandes composantes tangentielles de. pression, touchant les pressions les plus inclinées sur la

normale à l’élément plan qu’elles sollicitent, etc. Il applique une construction plane analogue à l’étude des dilatations et des glissements qu’éprouvent les diverses lignes matérielles se croisant en tout point' d’un milieu, déformé d’une manière continue quelconque.

69. — Sur la théorie du potentiel, et sur la différentiation des intégrales définies dans les cas où la fonction sous le signe somme devient infinie. ‘

70. — Sur la manière de présenter la théorie des potentiels d’attraction, dans T hypothèsegénéralement admise, de la discontinuité de la matière.

Ces articles ont été faits pour répondre à une forte objection, consistant en ce que la théorie classique du potentiel, édifiée, dans tous les cours'de mécanique rationnelle, d’après l’hypothèse de la continuité de la matière, paraît n’avoir plus de sens, et ne plus correspondre à rien de réel, dès qu’on l’applique à l’intérieur de corps composés de molécules distinctes', comme le sont tous ceux de la nature suivant l’opinion unanime des hommes de science.

M. Boussinesq remarque que le but ordinaire de l’emploi des potentiels d’attraction est de servir au calcul de la pesanteur, c’est-à-dire des forces, agissant à des distances perceptibles, qui sont inversement proportionnelles aux carrés de ces distances, et non au calcul des actions moléculaires exercées aux distances imperceptibles, forces très-importantes aussi, mais qui ne suivent pas la loi de Newton. En conséquence, il appelle potentiel relatif à une masse donnée, pour un point (x, y, z) de l’espace, la somme des éléments spectivemen.

termes, quoiqu’ils ne correspondent (par leur dérivée) à aucune force réelle ; et c’est ce que font les auteurs de mécanique. Mais il n’en est plus de même dans la supposition d’une matière composée d’atomes disséminés ; car, alors, ces termes à petit dénominateur r, énormément changeants pour d'imperceptibles déplacements du point (x, y, z), empêchent la somme de varier graduellement dans toute région finie occupée par la matière ; en sorte que le potentiel ne reste utilisable, pour l’étude du problème de la pesanteur, etc., et ne conserve son sens concret, qu’autant qu’on les exclut.

La différentiation d’un potentiel ainsi défini est d’ailleurs facile et naturelle. Le point (x, y, z), en se déplaçant infiniment peu, emporte avec lui la petite sphère, qui occupe à son avant quelques éléments nouveaux de volume et qui en perd autant à son arrière. Comme il correspond à ceux-ci des éléments nouveaux gagnés par l’intégrale, de même qu’aux précédents, des éléments, perdus , la dérivée de la fonction doit comprendre, en outre de ce que donne la différentiation sous le signe somme et qui provient des variations des éléments qui lui sont communs dans ses deux états, des termes aux limites, exprimant ce qu’apportent ou.ee qu’enlèvent les éléments gagnés ou perdus. Ces termes se trouvent être en tout, dans les dérivées premières du potentiel, de-l'ordre du rayon de la petite sphère et négligeables. Mais ils valent — y " p dans les trois dérivées secondes prises deux fois par rapport à x, ou deux fois par rapport à y, ou deux fois par rapport à z, p désignant la densité à l’intérieur et autour de la petite sphère : circonstance qui rend, conformément au théorème de Poisson, la somme de ces trois dérivées secondes égale à — 4 * f. ■ ■ ;

- Un savant professeur de mécanique, juge d'une haute compétence, M. Gilbert, s’est exprimé, au sujet de cette méthode, dans les termes suivants (dont il autorise la reproduction ici) : « A mon sens, il n'y a pas à douter que cenesoitlàla vraie démonstration du théorème de Poisson... ; tout ce que Clausius, Gauss, Dirichlet, etc. ont écrit là-dessus peut être fort élégant, mais n’atteint pas le fond de la question, comme le fait cette démonstration ", si simple et si directe ».

71. — Des solutions singulières gui se présentent dans le problème du mouvement curviligne d'un point sous l’action d’une force centrale.

On enseigne, depuis Leibniz, dans les cours de mécanique, que toute la suite des états d’un système de points est complètement déterminée par .les équations différentielles de leur mouvement, jointes à la connaissanoedel’état initial, quoique'cette opinion n’ait jamais été fondéé que sur des aperçus assez vagues et sur l’absence d’exemples connus où elle se trouvât en défaut. Or, dès 1806, Poisson fut très-surpris, en se posant le problème du mouvement d’un point sur une ligne fixe et où l’accélération serait proportionnelle à certaines puissances positives de l’espace, de trouver que le mobile, déposé à l’origine des espaces sans vitesse initiale, pouvait aussi bien, , d’après l’équation, rester indéfiniment à cette origine que la quitter au bout d’un temps quelconque : Yarrêt est représenté par une solution singulière de l’équation, tandis que le départ et le mouvement sont exprimés par l’intégrale générale. Ce 'paradoxe , sur lequel Poisson appela toute l’attention des géomètres, paraissait oublié des professeurs de mécanique et même des analystes, lorsque M. Boussinesq, qui l’ignorait entièrement, fut conduit à penser qu’il existe des mouvements dont la suite n’est pas réglée par leurs équations différentielles seules, et où les intégrales admettent, par suite, des bifurcations, des raccordements plus ou moins multiples, permettant de temps à autre des changements de voie. Et il trouva d’abord toute une classe' d’intégrales singulières représentant des points d’arrêt, dans le genre de celui de Poisson, mais avec une variété bien plus grande, en ce sens que l’indétermination peut ou doit même (suivant les exemples choisis) së renouveler pendant toute la suite des temps, en une, foule d’endroits et d’une foule de manières, tandis qu’elle se présentait une fois seulement et en un seul point dans l’exemple de Poisson. De plus, les raccordements sont susceptibles d’y être ménagés avec une continuité aussi parfaite qu’on le désire, vu que le contactées intégrales générales avec les intégrales singulières peut y être, non-seulement du second ordre, comme l’exige la nature de l’équation différentielle, mais d’un ordre supérieur quelconque et même infini. En outre, H. Boussinesq observa qu’un grand nombre de solutions quasisingulières , à raccordements asymptotiques ou ne joignant, en toute rigueur abstraite, les intégrales particulières que pour des valeurs infinies de la variable t , sont pratiquement équivalentes aux solutions singulières proprement dites.

Mais toutes ces solutions singulières, proprement dites ou asymptotes, ne représentaient que des points d’arrêt, et les bifurcations ne se produisaient, en quelque sorte, qu’à la faveur du repos, à des moments où la

vitesse était nulle. Il y avait, donc lieu de chercher d’autres exemples, où l’indétermination surviendrait pendant le mouvement même. L’auteur les a trouvés dans le cas d’un mobile que sollicite une force dirigée vers un point fixe et fonction de la distance à ce point. Comme le principe des aires y ramène la détermination du mouvement le long du rayon vecteur au problème d’un mouvement rectiligne dans lequel l’accélération dépendrait seulement de la distance à l’origine et de la constante des aires donnée, tous les points d’arrêt des solutions précédentes peuvent être transportés dans la question actuelle, et ils y deviennent des cercles, vu la rotation qui les emporte autour du point fixe. Le mobile, arrivé sur ces cercles , peut, à volonté, ou les quitter pour s’engager sur une trajectoire particulière, ou s’y maintenir pendant un temps arbitraire en y avançant d’un mouvement uniforme. M. Boussinesq applique d’ailleurs,cç résultat au mouvement relatif du système que forment deux atomes soumis à leur action mutuelle, et il prouve que toute expression de cette force, propre à expliquer les deux ordres des phénomènes physiques et chimiques, entraîne l’existence d’au moins une trajectoire singulière, avec cette circonstance que, si la cons-, tante des aires n’est pas trop grande,. le mobile viendra indéfiniment s’y replacer après l’avoir quittée, ou que l’indétermination se reproduira sans fin.

Dans tous ces exemples, où , comme dans la nature, les accélérations ne dépendent que des positions relatives actuelles , et non des vitesses, l’état initial doit vérifier une certaine relation pour que les bifurcations se produisent , én sorte que les cas où elles se présentent ont quelque chose d’exceptionnel, M. Boussinesq montre qu’il ên serait autrement si les accélérations étaient fonction aussi des vitesses.

En résumé, le principe de la détermination complète de la suite des mouvements par leurs équations différentielles n’est plus admissible, comme principe universel ; et, par une conséquence rigoureuse , les forces des géomètres , je veux dire ces causes de mouvement que l’on se représente comme ayant le rôle précis et exclusif de produire des accélérations , cessent d’êtrè suffisantes en mécanique. Elfes demandent à être complétées, au moins logiquement, par l'adjonction de causes d’une autre espèce, de principes directeurs, dont la fonction serait de régler le choix entre les voies diverses que peut ouvrir à un moment donné, devant un système matériel, le jeu des forces purement productrices d’accélérations. Quant au mode d’action de

toutes ces causes de mouvement, soit forces, soit principes directeurs , inutile de dire qu’il reste complètement inconnu.

Mais est-ce seulement en mécanique rationnelle, et comme création pure de l’esprit, qu’il y a lieu.d’introduire l’idée des principes directeurs, ou tien la nature lui a-t-eEe ménagé d’importantes appEcations, dans certains ordres singuliers de faits que le ton sens se refuse à placer sous la dépendance exclusive des lois mathématiques ordinaires ? Il sera parlé plus loin (p. 79) d’un travail où l’auteur a cru pouvoir se poser cette question,

72.— Sur les mouvements quasi-circulaires d’un point soumis à Vattraction d'un centre fixe.

72. — Théorie des mouvements quasi-circulaires d’un point pesant sur une surface de révolution creuse à axe vertical.

74. — Tes petits mouvements d'un point pesant sur une surface fixe, décrite autour d’um axe de révolution vertical.

75. — Théorie du mouvement quasi-circulaire d'un point , attiré par un centre fixe, et des oscillations d! un corps pesant sur une' surface creuse de révolution à axe vertical. ■

Ces articles sont consacrés à l’étude du mouvement d’un point, dans des circonstances où le principe des aires permet de ramener les questions au protlème simple de mouvements rectilignes d’une amplitude restreinte et . dont l’accélération se trouverait ne dépendre que de la coordonnée actuelle du motile. Entre autres résultats, l’auteur y démontre:

1° Que, dans de telles osciüations rectilignes, le milieu de la trajectoire ne coïncide généralement plus avec la situation d’équilihre, ni avec la moyenne des positions occupées successivement par le motile, dès la deu-

xième approximation, où l’on ne néglige plus le carré des déplacements, et que, à une troisième approximation, la durée de la période d’oscillation est elle-même changée;

2° Qu’un mobile, attiré vers un centre fixe par une force fonction de la distance à ce centre, ne peut décrire des orbites quasi-circulaires toutes fermées qu’autant que l’attraction, ou pour mieux dire, la tendance vers le point fixe, est, ou proportionnelle à la distance, ou inversement proportionnelle à son carré ; .

3° Qu’il n’existe pas de surface polie de révolution, à axe vertical, sur laquelle un point pesant puisse décrire rigoureusement des orbites quasicirculaires toutes fermées, mais que l’ellipsoïde dont l’axe polaire est la moitié de l’axe équatorial approche, infiniment plus que les autres surfaces, de, jouir de cette propriété ;

4° Que, dans le cas de petites oscillations quelconques d’un point pesant sur une surface concave de révojùtion à axe vertical , la trajectoire peut être regardée comme une ellipse, en projection horizontale, même à une deuxième approximation, où l’on ne néglige que les puissances des excursions supérieures à la quatrième : mais cette ellipse est animée, autour de son centre, d’un mouvement de rotation, sensiblement uniforme, proportionnel à l’aire de l’ellipse et à un coefficient, positif ou négatif, dépendant de la forme de la surface (résultat que l’on connaissait pour le pendule conique, où la surface est une sphère) ; en outre, le mouvement relatif du mobile sur son ellipse ne se fait plus pendulairement, en projection suivant les axes de l’ellipse ;

5° Le coefficient exprimant le rapport de la vitesse angulaire de l’orbite à son aire ne s’annule que pour l’ellipsoïde dont l’axe vertical polaire est moitié de l’axe équatorial (ou pour toute surface ayant, en son fond, un contact du quatrième ordre avec cet ellipsoïde), et le mouvement suivant les axes est alors pendulaire, quoique la durée de l’oscillation dépende des ampli-

6° La durée de l’oscillation, ou de la révolution du point sur son orbite mobile , n’est constante, au degré d’approximation considéré, que pour les surfaces à méridien cycloïdal et pour celles qui ont avec elles un contact du quatrième ordre ; et elle cesse de l’être à une approximation plus élevée : de même, à cette approximation plus élevée, il n’y a plus de surface , ni de courbe, sur lesquelles le mouvement d’un point pesant puisse être pendulaire en projection horizontale ; etc.