Théorie 'des ondes liquides périodiques

(Comptes-Rendus, 19 avril 1868 ; t. LXVIII, p. 905, et Recueil des Savants «rangers de l’Académie des Sciences de Paris, t. XX, p. 509 à 615. — Voir le Rapport, approbatif de M. de Saint-Venant aux Comptes-Rendus, 21 février

Ce mémoire concerne l’étude des petits mouvements, à composantes pendulaires, qui se propagent à la surface libre et dans la masse d’un liquide pesant en équilibre, quand une certaine partie en est directement ébranlée par des oscillations périodiques et concordantes d’un système de corps immergés: il est donc consacré au phénomène qui a fourni le type de tous les mouvements ondulatoires. L’auteur démontre : 1° qu’à une certaine distance de la région d’ébranlement, les surfaces d’ondes (ou surfaces sur toute l’étendue desquelles la phase des mouvements est à chaque instant la même) sont des cylindres verticaux ; 2° que les ondes progressent, de l’une de ces surfaces aux suivantes , avec une célérité ou vitesse de propagation constante, à part de petites variations , très sensiblement proportionnelles à l’inverse du carré de la distance au centre de courbure de la partie considérée des

immergeant un obstacle dans l’eau, présentent, au-delà de l’obstacle , des franges de,diffraction, analogues à celles que produit la lumière et qu’il prouve être calculables par une méthode pareille, mais qui sont beaucoup plus grandes et, partant, plus accessibles dans tous leurs détails. Il étudie, non-seulement les circonstances qui s’y rapportent à l’amplitude des mouvements , mais , de plus, celles de la phase, dont les physiciens ne se sont pas encore occupés à propos de la diffraction des ondes lumineuses. H trouve, par exemple, que de grands retards se produisent dans la ’ région abritée par l’obstacle : les ondes, en y pénétrant, s’infléchissent de plus en plus vers l’arrière à mesure que leur amplitude décroit et devient insensible, c’est-à-dire à mesure qu’on s’éloigne du bord de cette région pour s’avancer

dans son intérieur.

L’auteur reconnaît encore que la vitesse de propagation grandit quand la période de vibration augmente, et que ses variations suivent une loi assez analogue à. celle qui régit la dispersion de la lumière, du moins dans les petites profondeurs, où elles se trouvent aussi, restreintes que le sont les différences relatives existant entre les vitesses* des lumières simples diversement colorées ; etc.

extrémités de deux certaines droites (axes optiques) situées dans le plan des deux axes d’élasticité extrêmes et symétriquement de part et d’autre de chacun de ceux-ci. Elle prend la forme de l’onde que Fresnel a trouvée pour l’éther lumineux (supposé agir comme une sorte de solide élastique), dans deux cas remarquables, découverts par Cauchy. Le premier cas, où les vibrations se font suivant des sens perpendiculaires à ceux que Fresnel leur attribue dans la double réfraction, c’est-à-dire perpendiculaires aux projections des rayons sur les plans tangents à l’onde, se réalise pourvu que le milieu isotrope, déformé d’une manière persistante, soit .redevenu litre, ou ait été soustrait définitivement aux pressions déformatrices. Le second cas, où les vibrations quasi-transversales se trouvent dirigées sensiblement comme le sont, d’après Fresnel, celles de l’éther lumineux dans les cristaux biréfringents, exige, au contraire, pour se produire, que les pressions déformatrices continuent à, s ’exercer , et qu’elles vérifient même certaines relations très spéciales où entrent les coefficients d’élasticité acquis par le milieu; etc.

57. — Etude sur les vibrations rectilignes et sur la diffraction, dans les miliem isotropes et dans Véther des cristaux.

Ce mémoire a pour objet l’étude des variations que peut éprouver d’un point à l’autre, dans les milieux homogènes élastiques les plus importants, l'amplitude des petits mouvements pendulaires rectilignes les plus généraux possibles, de même période, mais de phases et de directions différentes. Les intégrations s’y font d’une manière en quelque sorte géométrique, pourvu que les longueurs d’ondulation soient très petites par rapport aux dimensions des surfaces d’onde, et elles conduisent, tant pour les vibrations longitudinales que pour les vibrations transversales,^ des lois simples, qu’il serait trop long de rappeler ici.

Le résultat principal de ce travail est de démontrer, par les équations théoriques des petits mouvements, la légitimité du procédé dont on se sert pour les calculs relatifs aux phénomènes de diffraction et pour délimiter latéralement les rayons lumineux, procédé qui consiste à remplacer toute onde excitatrice par une in fi n ité d’autres ondes, décrites autour de ses divers points comme centre et chez lesquelles l’amplitude n’aurait de valeurs sen-

sibles que sur les rayons voisins de la normale à l’onde excitatrice. M. Boussiiiesq prouve toutefois : 1" qu’il faut prendre les centres de cés ondes auxiliaires, non pas sur l’onde excitatrice, mais sur une surface parallèle, située en arrière, à une petite distance contenant un certain nombre de longueurs d’ondulation ; 2" que, de plus, chacun de ces systèmes d’ondes doit apporter, sur le point le premier atteint de l’onde excitatrice, des mouvements en avance d’un quart de période sur ceux qui s’y produisent en effet; 3° enfin, que, dans l’hypothèse de vibrations parfaitement rectilignes, ces ondes élément taires ne seraient pas possibles si l’amplitude n’y avait de valeurs appréciables que sur une calotte sphérique très petite, c’est-à-dire si elles ne s’étendaient pas à toute une zone (équatoriale par exemple), dont la largeur peut, il est vrai, être fort restreinte. Malgré ces différences, rien n’est changé aux résultats de la théorie ordinaire, sauf la suppression, jugée d'ailleurs nécessaire par les physiciens, d’un quart de période aux formules des phases. Cette méthode, et les conséquences qu’on en déduit, s’étendent sans erreur sensible aux milieux légèrement biréfringents, comme sont tous les cristaux connus.

L’auteur a reconnu depuis que les vibrations émanées d’un centre d’ébranlements ne se font pas, en général, suivant des. trajectoires complètement droites, et qu’il leur suffit de présenter d’insignifiants écarts d’avec la forme rectiligne, pour que leur amplitude puisse varier arbitrairement d’un point à un autre d’une même surface d’onde, tout en restant astreinte à être, le long de chaque rayon, eh raison inverse de la distance au centre. Donc, rien n’empèche de prendre pour ondes élémentaires des ondes où les vibrations ne soient que sensiblement rectilignes et où, comme le supposait Fresnel, l’amplitude n’ait des valeurs sensibles que sur les rayons faisant de très petits angles avec la normale à l’onde excitatrice. Cette remarque concerne, d’ailleurs, non seulement les ondes lumineuses à vibrations transversales ou quasitransversales, mais aussi les ondes sonores, à' vibrations longitudinales.