VI. — Théorie analytique de la chaleur, et physique

76. — Etude sur la propagation de la chaleur dans un milieu homogène.

77'. — Sur un nouvel ellipsoïde, qui joue un grand rôle dans la théorie de là chaleur.

78. — Sur les spiralés que décrit la chaleur, en se répandant, à partir d'un point intérieur, dans wn milieu homogène non-symétrique.

79. — Etude sur les surfaces isothermes et sur les courants de chaleur, dans les milieux homogènes chauffés en un de leurs points.

80. — Construction générale des courants de chaleur, en un point quelconque d’un milieu athermane, homogène ou hétérogène.

(Comptes-Rendus, 2 août 1869 ; t. LXIX, p. 829.)

Toutle monde connaît les belles expériences de M. de Senarmont sur la conductibilité des cristaux pour la chaleur. Le savant minéralogiste taillait en divers sens, dans un cristal, des plaques minces, qu’il chauffait en un point central après avoir recouvert de cire une des faces. La cire, fondant, s’éloignait par capillarité du point chauffé, et dessinait autour de ce point comme centre, sous forme de bourrelet, une ellipse isotherme. De Senarmont constata qu’en replaçant idéalement toutes les plaques dans le cristal, de manière à faire coïncider les points chauffés, les ellipses devenaient concentriques et semblables (avec orientation pareille) aux intersections faites par leurs plans dans un même ellipsoïde ; et il regarda celui-ci comme le type

des surfaces isothermes qui se seraient produites dans le cristal entier, si l’on avait pu le chauffer en un point intérieur.

Duhamel a prouvé depuis, théoriquement, que ces inductions étaient exactes pour les corps homogènes possédant trois plans rectangulaires de symétrie de contexture, les seuls qu’il ait.étudiés. Mais ilrestaità voir s’il en est de même quand on ne suppose aucune symétrie de cette sorte, c’est-à-dire quand le flux de chaleur émis par conductibilité, à travers un élément plan, peut être une fonction linéaire quelconque des trois dérivées partielles de la température par rapport aux coordonnées. Il fallait aussi tenir compte des variations qu’éprouvent les coefficients de conductibilité extérieure en fonction de la température, soit à cause du changement physique d’état de la cire, soit par le faitde son retrait, afin de prouver que ces variations peuvent bien influer sur les dimensions absolues des courbes isothermes, mais non sur leur forme, ni sur leur orientation. Telles sont les questions que M. Boussinesq a résolues dans les mémoires analysés. Il y prouve que la surface trouvée par M. de Senarmont doit bien exister, d’après la théorie , et qu’elle est un ellipsoïde, mais qu’elle diffère, en général, de l’ellipsoïde représentant les surfaces isothermes produites dans le corps massif. Ce dernier ellipsoïde se trouve intérieur au premier, qu’il touche seulement aux deux extrémités d’un certain diamètre. Les plans conjugués au diamètre commun les coupent tous les deux suivant des ellipses semblables. La surface intérieure, type des surfaces isothermes du corps massif, n’est autre que l’ellipsoïde principal de Lamé. L’autre est appelé par M. Boussinesq ellipsoïde des conductibilités linéaires , parce que chacun de ses demi-diamètres a pour carré le coefficient de conductibilité d’une barre de même direction. Il n’a rien de commun avec un ellipsoïde des conductibilités considéré par Lamé, et auquel on ne connaît aucune application.

Les mêmes considérations qui, dans l’étude de la double réfraction (voir p. 59 ci-dessus), ont prouvé que les cristaux des cinq premiers systèmes se comportent comme s’ils avaient trois plans rectangulaires de symétrie de contexture , s’appliquent à la propagation de la chaleur et montrent que les cristaux du sixième système, seuls, peuvent avoir un ellipsoïde des conductibilités linéaires distinct de l’ellipsoïde principal. Ces deux ellipsoïdes n’en font donc qu’un dans les cinq premiers systèmes cristallins, auxquels s’applique par conséquent l’analyse de Duhamel.

La chaleur, en se répandant soit dans la plaque, soitdans le milieu massif, à partir du point chauffé, ne se transmet en ligne droite que chez les corps

symétriques, où les deux ellipsoïdes se confondent. Dans les autres, les filets où courants élémentaires de chaleur ont la forme de spirales, issues du point chauffé, et qui sont, de plus, parallèles aux faces de la plaque, ou, s’il s’agit d’un corps massif, enroulées sur des cônes ayant pour sommet le point chauffé et pour bases les sections de l’ellipsoïde principal par les plans conjugués en direction au diamètre commun des deux ellipsoïdes. M. Boussinesq déduit très-simplement la forme de ces courants de chaleur, ainsi que les angles soiis, lesquels ils coupent les rayons issus du point chauffé, d’une construction simple , qui relie, dans tout milieu atherniane, la direction et l’intensité du courant de chaleur, produit en un endroit quelconque, à la direction qu’y ont les surfaces isothermes et aux . chutes de température observées au passage de l’une de ces surfaces à l’autre.

81. — Sur diverses propriétés, dont jouit le mode de distribution d'une charge èlectrigm à la surface d’un conducteur ellipsoïdal.

(Comptes-Rendus, 16 décembre 1818; 1. LXXXVII, p. 918. - Voir aussiles N” 28 et 88 du Mémoire sur Implication des potentiels à le théorie de l'équilibre d’élasticité. )

Gespropriétés sont les suivantes : 1° si chaque partie de la charge est transportée, parallèlement à une même direction quelconque, de l’ellipsoïde sur une plaque plane coïncidant avec la section diamétrale conjuguée à. cette direction, la charge se trouvera en équilibre sur la plaque ; 2° des plans parallèles, infiniment voisins et équidistants, découpent à la surface de l’ellipsoïde des zones électriques équivalentes ; 3° il n’y a pas d’autre mode de répartition possible de la charge, que celui pour lequel elle est en équilibre, qui présente cette propriété , de l’équivalence des zones de même hauteur limitées par des plans parallèles de direction quelconque.

82. — Recherches sur la théorie des battements (en commun avec M. Terquem, professeur de physique à la Faculté des Sciences de Lille).

(Journal de Phyéique théorique et appliquée, d« M. d'Alméida ; t. IV, 1815.)

Dans la partie théorique de ce travail, M. Boussinesq avait à évaluer la hauteur du son que perçoit l’oreille, lorsqu’on lui transmet une série de vibrations dont la durée est assez peu variable, mais dont l’amplitude change entre des

dans laquelle il faut faire successivement n = 1, = 2, = 3,=4,.... j usqu’à l’infini, et prendre les signes supérieurs pour la première équation, les signes inférieurs pour la seconde. L’erreur, de quelques millièmes seulement pour la plus petite racine, correspondant à n = 1, et de quelques dix-millièmes pour la suivante, devient de plus en plus insensible à mesure qu’on passe aux racines de plus en plus élevées, dont la détermination par toute autre méthode exige des calculs d’une excessive longueur et, bientôt même, impraticables. La confrontation est facile à faire pour la seconde équation, dont M. de Saint-Venant a déterminé laborieusement les neuf premières racines, aveo l’aide de deux calculateurs occupés pendant plus d’un mois (Comptesrendus , 8 février 1869., t. LXVIII , p. 294).

84. — Sur un changement de variables , qui rend intégrables certaines équations aux dérivées partielles du second ordre.

La transformation dont il s’agit ne diffère pas de celle de Laplace, circonstance qu’ignorait l’auteur. Mais, si le procédé était connu, M. Boussinesq en indique du moins un emploi nouveau, car il s’en sert pour transformer une équation à coefficients variables en une aûtre à coefficients constants, admettant, par suite, des intégrales en séries de termes à forme exponentielle ou trigonométrique (et il prouve qu’on arrive ainsi à ce but toutes les fois qii’une pareille transformation est possible), tandis qu’on n’avait employé jusqu’alors le procédé de Laplace qu’à chercher les intégrales sous forme finie que peut comporter l’équation aux dérivées partielles.

5. — Sur une propriété remarquable des points où les lignes de plus grande pente d'une surface ont leur plan osculateur vertical, et sur la différence qui existe généralement, à la surface de la terre, entre les lignes de faîte ou de thalweg et celles le long desquelles la pente du sol est un minimum.