Sur les lignes de faite et de thalweg

Ces articles sont consacrés à l’étude de divers caractères géométriques, remarquables, que l’action des eaux courantes a imprimés à la surface terrestre. L’auteur y définit les lignes de thalweg et de faite des faisceaux étroits de lignes de plus grande pente, dont quelques unes (suivies en descendant) se séparent du faisceau à droite et à gauche, sur tout son parcours,' s’il s’agit d’un faite, ou viennent, au contraire, s’y réunir, s’il s’agit d’un thalweg. Il appelle bassin , le lieu des lignes. de plus grande pente qui aboutissent à une même dépression du sol, versant , le lieu des lignes de plus grande pente qui se détachent supérieurement d’un même faîte pour aboutir inférieurement à un même thalweg; etc.—Il démontre que, tout près de chaque faîte ou thalweg et du côté vers lequel le faîte ou •thalweg tourne (en projection horizontale) sa convexité, il existe une courbe en tous les points de laquelle les lignes de plus grande pente qui y passent ont leur plan osculateur vertical et où la pente de la surface est moindre qu’aux points voisins situés au même niveau. M. de Saint- Venant avait déjà, en 1852, considéré les lignes qui jouissent de cette dernière propriété, d’où il avait déduit leur équation ; et M. Breton de Champ avait reconnu, en 1870, qu’elles ne pouvaient coïncider avec les faîtes ou les thalwegs qu’autant que ceux-ci ont leur projection horizontale rectiligne. L’auteur a dégagé le premier la propriété générale qui, de ces lignes des déclivités minima, et d’autres lignes analogues, dites des déclivités maxima , intercalées entre les précédentes, fait les lieux des points d’inflexion des lignes de plus grande pente : il a reconnu, aussi, qu’en tous les points de ces courbes des déclivités maxima ou minima les lignes de courbure de la surface sont respectivement tangentes à celles de niveau et de plus grande pente ; etc.

88. — Sur les rapports de Vasymptote rectiligne d’une branche de courbe avec les tangentes à cette branche de courbe.

L’auteur, appelant x et y les deux coordonnées d’un point d’une branche ' infinie de courbe plane , compare les accroissements qu’éprouvent les deux fonctions -|,-L quand on y fait croître la variable indépendante x depuis une valeur déjà fort grande jusqu’à une autre incomparablement plus grande encore. En exprimant que le rapport de ces deux accroissements égale, d’après un théorème classique de Cauchy, le rapport de leurs dérivées, y — x y', pris pour une valeur intermédiaire de x, il montre que, toutes les fois que l’ordonnée ( à l’origine ) de la tangente tehd vers une limite à mesure que :1e point s’éloigne, la tangente tend aussi vers une limite, asymptote à la courbe. • Mais, si à l’inverse, il y a une asymptote, la suite continue des positions de la tangente peut ne pas y. tendre dans des cas où la branche de courbe présente une infinité d’inflexions, quoique, alors, une série discontinue formée par certaines positions de la tangente, en nombre illimité, soit toujours astreinte à se rapprocher indéfiniment de l’asymptote.

J. — Sur la possibilité d’attribuer des dérivées à toutes les fonctions continues qui se présentent dans les applications .

M. Boussinesq démontre : 1° que toute fonction continue d’une variable, et qui est sans dérivée, diffère aussi peu que l’on veut d’une autre fonction continue, admettant un nombre quelconque désigné de dérivées continues ; 2° que toute fonction continue de plusieurs variables, sans dérivées, diffère aussi peu qu’on veut d’une autre fonction continue, admettant des dérivées partielles du premier ordre continues, et à laquelle on peut appliquer par suite, au moins une fois, la règle classique de différentiation des fonctions composées.

90. —Démonstration de l’existence des intégrales générales, dans les équations différentielles , et de la possibilité des intégrales singulières : remarques diverses sur celles-ci et, plus généralement, sur les, bifurcations et réunions d’intégrales. — Digression sur les notions (Paire et de volume.

L’auteur prouve simplement, en s’en tenant aux valeurs réelles des variables, l’existence des intégrales générales d’un système d’équations différentielles du premier ordre, résolués par rapport aux dérivées qu’elles définissent, et la complète détermination analytique dé ces intégrales, si ce n’est pour certaines des valeurs qui rendent infinies les dérivées partielles premières des seconds membres par rapport aux fonctions cherchées. Il donne aussi des exemples, pour l’équation différentielle du premier ordre, de solutions singulières qui ont un contact du deuxième ordre avec les intégrales particulières et qui, par suite, croisent celles-ci ou ne représentent nullement une enveloppe. Il montre la convenance qu’il y aurait d’étendre la notion des courbes enveloppes à toutes les lignes qui séparent le lieu occupé par une famille de courbes du reste du plan, de manière à y comprendre celles qui ne sont pas tangentes aux enveloppées, mais sont formées par leurs points de rebroussement : ce qui est le cas le plus général, sinon,peut-être, dans les applications, du moins en analyse pure, comme l’a fait voir M. Darboux (Comptes-rendus, 1870; t. LXXI, p. 268); etc.

Dans un dernier numéro, il éclaircit ou précise les notions d’aire et de volume, en montrant* par exemple, que, si l’on divise le plan en carrés infiment petits, par deux systèmes de droites, le rapport du nombre de ces carrés contenus dans une courbe fermée au nombre de ceux que comprend un carré constant, choisi pour unité, est une intégrale dont la valeur ne change pas, quelles que soient la position et l’orientation de la courbe fermée par rapport aux deux systèmes de droités.

91.— Sur les dilatations linéaires éprouvées par une surface élastique quel’on déforme.

92. — Calcul des dilatations linéaires éprouvées par les éléments matériels . rectilignes appartenant à une portion infiniment petite d'une membrane élastique courbe, que l’on déforme, et démonstration très simple du théorème de Gauss, sur la déformation des surfaces inextensibles.

(Société des Sciences de Laie, 1830 ; t. VIII, p. 881 à 890.1

M. Boussinesq considère une portion assez petite de surface courbe pour

qu'on puisse, dans tous les états de déformation de la surface, lui attribuer là forme d’un paraboloïde variable ayant pour axe une de ses normales. Il exprime, dans cette hypothèse simple, la dilatation qu’éprouve par unité de longueur, pendant les déformations, toute ligne tracée sur la .surface ; et il montre enfin que l’égalité du produit des deux courbures principales dans deux portions, infiniment petites de surface est une condition, non seulement nécessaire, mais encore suffisante, pour que ces deux portions de surface soient applicables l’une sur l’autre sans déchirure ni duplicature.

93, — Sur les problèmes des températures stationnaires, de la torsion et. de l'écoulement uniforme bien continu, dans les prismes ou dans les tuyaux dont la section normale est.un rectangle à côtés courbes ou est comprise entre deux, lignes fermées.

{Journal de Mathématiques, 1880 ; I. VJjuE -, ,

Cet article est consacré a éclaircir, sur certains points, et à présenter sans aucun cortège de formules générales empruntées à la théorie des coordonnées curvilignes, la belle méthode que Lamé à donnée, pour intégrer les équatioiis du problème des températures stationnaires, dans un cylindre dont la section normale est limitée par deux côtés courbes ou par quatre se coupant à angles droits, toutes les fois que l’on connaît deux familles de lignes isothermes dont fassent partie ces. côtés, ou, en d’autres termes, toutes les fois qu’on a sa intégrer pour le cas simple où deux faces opposées se trouvent à deux températures constantes, tandis que les deux autres faces, lorsqu'elles existent, sont supposées imperméables à la chaleur.

94 — Coup d’œü sur la théorie des séries trigonométriques les plus usuelles.

Cette note, composée pour le Journal de Mathématiques pures et appliquées^, contient, avec une exposition simple de la théorie du développement des fonctions périodiques en séries de termes procédant suivant les sinus et cosinus des multiples d’un arc, des considérations relatives >à la série ou formule de Fourier (pour le cas d'une fonction finie, donnée arbitrairement entre les valeurs— co et * co de sa variable), et aux précautions qu’exige son emploi, par suite de cette circonstance, que la convergence de la série est parfois assez faible pour tenir en partie à l’ordre dans lequel se succèdent ses termes, aux

modes de groupement des éléments de l’intégrale double (à limites infinies) qui y paraît, et non pas seulement à la petitesse absolue de ces termes ou de ces éléments.