Sur les tourbillons liquides à axe vertical

Les mouvements tournants des fluides pesants, autour d’un axe de symétrie vertical. sont de deux sortes, suivant qu’ils accompagnent l’écoulement, sous d’assez petites charges, d’un fluide hors d’un réservoir, par un orifice percé dans sa partie inférieure , ou suivant qu’ils sont .produits par deux courants oppo.sés et voisins, imprimant des vitesses inverses à une masse fluide intermédiaire. Le frottement n’a qu’un rôle secondaire dans les premiers, où domine l’action de la pesanteur, tandis qu’il transmet seul le mouvement dans les seconds, dont le type est constitué par le cas d’un cylindre solide, creux et vertical, plongé daas un liquide, et animé autour de son axe d’un mouvement uniforme de rotation qui se communique peu à peu au fluide tant intérieur qu’extérieur.

Ces phénomènes ne sont encore abordables à l’analyse qu’aux endroits où les mouvements se réduisent presque à des rotations autour de l’axe de symétrie. M. Svanberg, de Stockholm, avait déjà reconnu que, dans les tourbillons de la première espèce, la vitesse, à l’état permanent, est en raison inverse de la distance à l’axe, conformément à urie loi expérimentale découverte par Léonard de Vinci. M. De Saint-Venant, en rectifiant un calcul doublement inexact de Newton, avait trouvé que la même loi régit également ceux de la seconde espèce, parvenus aussi à l’état permanent, et pour ce qui concerne la masse fluide extérieure au cylindre moteur. M. Boussinesq a, de plus, déterminé la forme de la surface libre, sorte d’entonnoir, dont le demiméridien est concave vers en bas et tel, que l’enfoncement éprouvé par chaque couche annulaire, au-dessous du niveau d’équilibre, égale la hauteur de chute correspondant à la vitesse effective de la couche. En outre, il démontre que , si le tourbillon pouvait se régler jusqu’à une distance infinie de l’axe, il posséderait une énergie potentielle finie, mais une énergie actuelle infinie , etc. Il donne enfin, au moins pour les cas les plus simples, les intégrales de l’état non-permanent qui se produit quand le tourbillon n’a pas le temps de se régler, etc.

n,pour l’écoulement uniforme de Veau dans les ce.

13.— Sur le mouvement permanent varié de l'eaù dans les canaux découverts et dans les tuyaux de conduite.

14. — De l'influence des forces centrifuges sur l'écoulement de l'eau dans les, canaux prismatiques de grande largeur.

Ces trois mémoires ou notes ont été la préparation à celui de l’article 15 (Essai sur la théorie des eaux courantes] , qui même, dans ses chapitres, les reproduit avec développements. •

Les phénomènes d’écoulement que l’auteur y traite ,.sont en effet, les plus importants dé l’hydraulique. Ils n’avaient présenté , jusqu’à la publication de ces études, qu’une désespérante énigme , suivant le mot du rapporteur éminent, à l’Académie, de l’Essai sur la théorie des eaux courantes, M. de Saint-Venant, bien d’accord en cela avec les savants expérimentateurs Darcy et M. Bazin. Ceux-ci, en effet, dans leurs Recherches hydrauliques publiées en 1865, avaient jugé que « l'obscurité de ces questions augmentait à mesure que des observations plus précises semblaient devoir y jeter plus . de lumière ».

La difficulté, comme l’avait remarqué M. de Saint-Venant dès 1851, était surtout d’exprimer, dans Une analyse où les géomètres n’avaient su introduire que des vitesses et dès pressions variant d’une manière parfaitement régulière et continue de chaque point aux points très proches et de chaque instant aux suivants, l’influence dynamique prédominante des changements rapides et irréguliers qu’éprouvent la vitesse et les pressions aux divers points d’une grande masse fluide qui s’écoule. A cet effet, M. Boussinesq distingue, d’abord deux parties dans la vitesse des molécules qui passent successivement par un point donné. La première, correspondant

à la translation générale de ces molécules , n’est autre chose que la moyenne, dite locale, des vitesses effectives qui se produisent à l’endroit considéré pendant un temps assez court : elle se trouve , des deux parties, la plus grande, mais celle qui . a les dérivées les plus petites (vu qu’elle varie graduellement, tant d’un instant à l’autre que d’un point à l’autre), et elle est la seule qui intéresse l’hydraulicien, la seule qu’on puisse, jusqu’ici, introduire explicitement dans les formules. Quant à la seconde partie, dont l’existence s’aperçoit à simple vue, mais dont la valeur moyenne, pendant un temps assez court, est nulle en chaque endroit, elle constitue V agitation Au fluide, c’est-à-dire un mouvement qui, s’il était seul,.produirait partout de grandes déformations accidentelles, des glissements locaux de sens divers, sans translation générale dans aucune région. M. Boussinesq démontre que toutes les formüles usuelles de l’hydrodynamique, et même celles de Navier qui tiennent compte des frottements intérieurs, s’appliquent quand on fait abstraction de cette dernière partie, ou quand on réduit les vitesses à leurs moyennes locales , pourvu qu’on attribue au coefficient des frottements intérieurs s (appelé bien à tort coefficient de viscosité) une valeur énormément supérieure à celle qui convient pour les mouvements tout-à-fait réguliers comme ceux qui ont lieu dans les tubes capillaires : et cette valeur bien plus grande de t varie d’un point à Vautre, au lieu d’être constante comme dans les équations de Navier ; car elle dépend, en chaque endroit, de l'agitation,qui y règne.

bailleurs, l’agitation dont il s’agit provient des tourbillons que fait naître sans cesse, au contact et sous le choc des parois (surtout quand elles sont rugueuses), l’action combinée de la vitesse translatoire du fluide contigu et des mouvements de ballottement transversal rendus possibles par l’ampleur des sections. A partir des parois, l’agitation tourbillonnaire se propage vers l’intérieur, en y augmentant d’intensité quand elle se concentre, o’est-à-dire quand le contour de la section est concave, en restant au contraire sensiblement la même quand la section est limitée sur une grande étendue par un bord rectiligne ; etc. Le coefficient £ croît donc, en définitive : 1° avec l 'ampleur des sections, mesurée par la partie de leur aire qui correspond à l’unité de leur contour mouillé ; 2° avec la moyenne des vitesses produites à la paroi ; 3° avec le degré de concentration de l’agitation à partir du contour jusqu’au point considéré, degré égal à un dans une section rectangulaire large, à l’inverse du rapport des distances au centre dans une section circulaire, et généralement, pour toute forme des

fonctioi

avec le nombre et la grandeur des rugosités des parois , sans que, toutes fois, e. cesse d’être sensible même quand les parois sont très polies. L’aüteur, choisissant naturellement la forme la plus simple possible dans ' ces conditions , prend e proportionnel aux trois premiers des -éléments énumérés, dont chacun le ferait s’annuler à fort peu près s’il décroissait jusqu’à zéro; et il le Suppose en-outre proportionnel à un coefficient, constant pour un certain degré de poli des parois, mais variable en sens inverse de ce degré. Des considérations analogues le conduisent à prendre, pour mesure du frottement extérieur exercé sur une paroi par le fluide contigu, le produit de la vitesse de Celui-ci par le nombre des molécules qui passent devant la paroi durant l’unité de temps, nombre proportionnel à la vitesse même, et par un coefficient dépendant, comme le précédent, de l’état de poli des parois, mais croissant encore plus vite que ce coefficient de frottement intérieur quand le degré de rugosité augmente. >i Avec ces données , et en supposant d’ailleurs le frottement insensible sur les surfaces libres, le problème de l’écoulement n’est plus qu’une question de calcul intégral, parfaitement attaquable, non-seulement dans le càs d’üii régime uniforme, mais même, par une méthode d’approximations successives due à l’auteur et où rien n’est laissé à l’arbitraire, quand le mouvement sè trouve graduellement varié, c’est-à-dire quand les filets fluides, très peu courbes , font entre éux de petits angles , ou que la vitesse moyenne et l’aire de la section normale varient assez lentement, soit d’un endroit à l’autre, soit d’un instant à l’autre, en ayant leurs dérivées d’ordre supérieur enepre moins sensibles. Les lois ainsi exprimées sont, pour le régime uniforme, simples, et d’accord, en oe qui concerne tant lès débits que la répartition des vitesses aux divers points dés sections, avec toutes les expériences précises que l’on possède sur .les grands écoulements par les tuyaux et par les canaux découverts : la pente motrice, notamment, y est proportionnelle au carré de la vitesse moyenne, à l’inverse du rayon moyen (quotient de l’aire de la section par son contour mouillé) et à un coefficient dépendant du degré de poli des parois et aussi, dans une mesure restreinte, de la forme des sections, coefficient qui grandit lorsque les parois deviennent plus rugueuses ou que la forme des sections s’éloigne de celle du cercle. Quant aux lois du régime varié, permanent ou non-permanent, comme elles sont également déduites, pour la première fois , d’une analyse toute rationnelle, il n'y est pas uniquement tenu compte des corrections qu’introduit, dans les termes

exprimant les inerties, l’inégalité de vitesse des filets fluides; comme Goriolis avait essayé de le faire pour le mouvement permanent ; car un curieux artifice de calcul permet d’y exprimer aussi, et très simplement, les vitesses à'là paroi en fonction de la vitesse moyenne, même quand le mouvement est varié, et d’obtenir par suite, dans la formule usuelle du frottement extérieur en fonction de la vitesse moyenne, la partie qui dépend de la non-uniformité du régime. H en résulte, en particulier, une équation du mouvement permanent corrigée de deux erreurs entachant la formule usuelle due à Coriélis; erreurs qui, bien que de signe contraire, sont,loin de sé détruire, et ne se neutraliseraient que dans des mouvements bien continus avec vitesse nulle aux parois, etc.

Les jnêmes procédés d’intégration s’appliquent aussi, quoique moins exactement, à des mouvements qui, sans être graduellement variés, à cause des petites courbures sensibles que les filets fluides y prennent, ressemblent cependant aux mouvements graduellement variés sous les autres rapports, c’est-à-dire en ce que ces filets fluides sont encore peu inclinés les uns par rapport aux autres et que les dérivées de la vitesse moyenne et de la section sont, assez faibles. Les équations pour ces cas-là ont une forme simple quand on remplace les vitesses des divers filets par leur moyenne, dans les petits termes provenant de la variation du mouvement : et elles suffisent, dans la plupart des circonstances où la formule des mouvements graduellement variés serait en défaut; par exemple, aux endroits et aux instants où un régime graduellement varié commence à s'établir ou commence à se détruire rapidement dans un cours d’eau.

L’auteur applique ces diverses équations générales à un grand nombre de problèmes intéressants, dont plusieurs étaient réputés inabordables. Citons, pour ne parler que du mouvement permanent dans les canaux prismatiques, l’étude des circonstances qu’y présentent l’établissement et la destruction d’un régime uniforme ou, plus généralement, d’un régime graduellement varié, le calcul de la forme des ressauts, tantôt simples, tantôt ondulés, qui se produisent dans les cours d’eau torrentueux, aux endroits, situés un peu en amont des barrages, où la surface se relève et .où la profondeur augmente rapidement, etc. Toutes ces circonstances sont confirmées par l’observation. Citons encore la mise en compte de frottements extérieurs considérables, dépendant de la non-uniformité du mouvement, dans l’évaluation des pertes de charge produites par un brusque épanouissement des filets fluides qui remplissent un tuyau ou que limite un lit découvert.

Ce travail étendu contient l’exposition de théories qui n’avaient pu être que résumées dans certains des articles et même des mémoires précédents ; et l’auteur y ajoute l’étude de beaucoup d’autres questions, d’un haut intérêt au point de vue de l’hydraulicien.

Par exemple, pour ce qui concerne le mouvement permanent, M.Boussinesq détermine les circonstances de l’écoulement, en général non uniforme, qui se produit dans des canaux sensiblement prismatiques plus ou moins longs. A cet effet, il joint à la formule du mouvement graduellement varié et à oelie du ressaut, qui, l’une ou l’autre, s’appliquent en tous les points de ces canaux, la loi, admise implicitement par tout le monde, que le régime y tend vers l’uniformité dès qu’on s’éloigne de chacune de leurs deux extrémités , c’est-à-dire, dès que s’atténue l’influence des conditions Accidentelles accompagnant l’introduction et la sortie du liquide. Cette loi, qui permet de reconnaître si un régime graduellement varié est sous la dépendance des conditions d’amont ou de celles d’ami et, ensuite, de fixer l’emplacement des ressauts où le régime varie brusquement, estregardée par l’auteur comme une conséquence d’un principe de la stabilité du mouvement permanent, qu’on n’avait pas encore signalé, mais dont l’existence parait incontestable. D’autres conséquences du même principe, se rattachant plus ou moins à celle-ci, qu’un mode d’écoulement ne devient persistant ou stable que lorsque le centre de gravité des masses fluides est le plus bas possible, lui permettent de porter quelque lumière sur la difficile question des déversoirs, libres ou noyés, et d’y lever certaines indéterminations apparentes, provenant d’une multiplicité de racines des équations algébriques qui les expriment.

la première fois dans ce mémoire, est l’étude du régime produit dansun canal dont le fond présente, d’amont en aval, une suite périodique de renflements et de creux; c’est-à-dire d’ondulations régulières, s’étendant sur toute la largeur. M. Boussinesq calcule l’amplitude et la situation des ondes de même longueur qui se forment à la surface. Il trouve que ces ondes sont peu sensibles, si la pente moyenne du fond est seulement de quelques dixmillièmes , et qu’elles tendent même à s'effacer, ou que la pente de la surface tend à devenir égale à la moyenne de celles du fond, quand la hauteur d’eau augmente, c’est-à-dire quand le cours d’eau roule un plus grand volume de liquide : mais ces mêmes ondes deviennent, au contraire, beaucoup plus hautes que les inégalités du fond, lorsque la pente moyenne de ce dernier approche de celle des torrents dits modérés (0,0036 en moyenne); etc. La surface est. parallèle au fond, et les filets fluides le sont tous entre eux (quoique courbes), quand la pente reçoit une valeur particulière, proportionnelle au carré du rapport de la longueur d’onde à la profondeur moyenne; etc.

L’auteur traité aussi de l’influence régulatrice des cours d’eau naturels sur les lits qui les contiennent. Par exemple, entre autres circonstances concernant le mouvement dans les coudes, il calcule l’approfondissement qui, pendant lés crues, se produit près de la berge concave d’un tournant de rivière, approfondissement qu’il trouve être en raison directe de la racine carrée de la courbure du coude : ce que confirment enmoyenne un grand nombre d’observations de M. Fargue sur la Garonne.

Parmi les questions de mouvement non permanent qu’il a également résolues pour la première fois, et auxquelles il a pu appliquer sa formule générale des écoulements graduellement variés, distinguons surtout le problème des ondes de translation, ou intumescences limitées, tant positives que négatives, propagées le long d’une eau courante, soit qu’elles descendent le courant, soit qu’elles le remontent. Non seulement l’analyse en donne simplement les vraies vitesses de propagation ; mais elle y décèle les nuances les plus délicates qu’une minutieuse observation ait fait connaître, touchant les petites anomalies apparentes que présentent ces vitesses, touchant la déformation plus ou moins rapide des ondes et leur aplatissement habituel, touchant l’influence du frottement extérieur, de plus en plus retardatrice de la tète à la queue de l’intumescence et cause de retards croissants dans les phases des variations dé niveau .comparées à celles de la vitesse moyenne, etc.

L’auteur aborde également, sous le titre de régime quasi-permanent

des cours d'eau, la question de la marche de ces ondes positives ou négatives, très longues et très aplaties, qu’on appelle des crues ou des décrues. La théorie en est assez simple quand on se home, comme il le fait, au cas où les variations de régime étudiées se produisent assez lentement pour que la vitesse moyenne diffère peu, à chaque instant, de ce qu’elle serait dans un écoulement permanent où la pénte de superficie et la profondeur recevraient leurs valeurs actuelles. Cette théorie avait été ébauchée, et même constituée aune première approximation, par MM. les ingénieurs Philippe Breton, Graëff et Kleitz, qui avaient notamment évalué la vitesse avec laquelle se propage chaque valeur du débit. M. Boüssinesq. passant à une deuxième approximation (beaucoup plus difficile), calcule la correction qu’il faut faire subir à l’expression delahauteur d’eau corrélative à un débit donné,.pour tenir compte de la non-permanence du régime. Il reconnaît, par exemple, que la profondeur vraie est moindre, ou la vitesse plus forte, pour ùn certain débit, quand celui-ci est entrain de croître que lorsqu’il diminue : circonstance dont, on peut conclure rigoureusement, en recourant à la condition de. conservation des volumes fluides, que les crues s’aplatissent peu à peu ; etc, Il explique aussi, très-simplement, la forme bombée et la forme concave que. présente: souvent le profil transversal'd’un cours d’eau, suivant'qu’il éprouve une crue ou une baisse rapides ; etc.

ld. — Additions . et éclaircissements au mémoire intitulé « Essai sur la théorie des eaux courantes ».

17. — Complément à une étude intitulée « Essai sur la théorie des

eaux courantes », etc.

Parmi les nombreuses questions trqité.es dans ces compléments au précédent mémoire, signalons ici :

1° Une détermination approximative des lois de l’écoulement, uniforme ou graduellement varié, dans les tuyaux et les canaux d’un calibre médiocre, par simple intercalation entre les deux cas extrêmes des écoulements bien

continus que présentent les petits tubes polis et des écoulements tumultueux, où l’agitation tourbillonnaire se développe pleinement, propres aux conduits à grandes sections; On en déduit, par exemple, que la vitesse moyenne dans les petites rigoles d’arrosage est, entre des limites assez étendues, sensiblement proportionnelle au rayon moyen (comme l’avait déjà observ.é M. Bazin) et à la puissance-y de la pente. Mais il en résulte surtout l’explication de ce fait, que, dans les cas des tuyaux de conduite ordinaires et des canaux de quelques décimètres de profondeur, les coefficients exprimant le produit de la pente par le rayon moyen et par l’inverse du carré de la vitesse varient en sens inverse de la vitesse et surtout du- rayon moyen, pour ne devenir à peu près constants que lorsque ce dernier atteint une certaine grandeur;

2» Le calcul de la réduction de pente que produit l’endiguement continu de tout cours d’eau qui avait réglé lui-même peu à peu son lit primitif, réduction observée par M. Dausse (aujourd’hui correspondant del’Académie) et résultant de l’entrainement des matières du fond qu’occasionne l’accroissement de vitesse dû à la) diminution de la largeur : la nouvelle pente de régime uniforme est sensiblement proportionnelle à la largeur laissée, au cours d’eau, pourvu que celle-ci reste, bien entendu, beaucoup plus grande que la-profondeur ;

3° La démonstration de ce fait, qüe le profil longitudinal moyen d’un cours d’eau est calculable par la formule du mouvement permanent graduellement varié, aux endroits où une série d’ondulations transversales de la surface mettent obstacle à l’existence de ce régime, comme il arrive, par exemple, à l’aval des ressauts ;

4° L’évaluation de l’influence qu’exercent les variations de la largeur, dans un canal à bords verticaux mais non parallèles (c’est-à-dire divergents ou convergents), sur la vitesse de propagation des divers éléments, soit de volume , soit d’énergie, d’une onde de translation, positive ou négative;

5° L’application approximative des lois de Poiseuille à l’écoulement du mercure dans de petits tubes en verre sous l’influence de pressions assez fortes, en la justifiant par cette considération,' que le frottement réciproque du mercure et du verre croît sans doute avec la pression et doit, quand celle-ci est un peu grande, diminuer la vitesse à la paroi au point de l’annuler presque comme s’il s'agissait d’un liquide mouillant le tube.

fluides. M. Belanger, qui a, d’une manière très plausible, dédi du principe des quantités de mouvement, a pu évaluer par la même méthode la perte de charge qu’éprouve un liquide, s’écoulant dans un canal prismatique découvert, quand il y a ressaut, c’est-à-dire quand la section : fluide croît brusquement : cette perte, pourun canal rectangulaire, vaut le quotient du cube de la hauteur du ressaut par quatre fois le produit des deux pro- ■ . fondeurs du liquide avant et après le relèvement. La différence des deux formules tient à ce que , dans le cas d’un tuyau où pénètrent des filets-fluides qui ne l’occupent pas d’abord tout entier, mais qu’achèvede remplir, près de l’entrée, une certaine quantité de liquide tourbillonnant, les deux sections, fluides précédant et suivant l’épanouissement des. filets supportent, à leur p(ir$e supérieure, des pressions différentes, et ont même aire totale (quoique la première ne soit pas en totalité une section vive) , tandis que , dans le cas du ressaut, les deux pressions considérées (s’exerçant sur le haut des deux .

sections) sont égales, mais les deux sections fluides différentes, et vives dans leur totalité.

Il y avait donc lieu de chercher ce qui se produit dans le cas général oü les. deux sections et les deux pressions, tout à la fois, diffèrent et où, de plus, les filets fluides n’occupent pas' toute la section amont, comme il arrive quand il s’agit d’un tuyau horizontal qui, plein de liquide du côté aval, est, à son extrémité amont, traversé par des filets affluents qui y laissent une partie vide et une autre occupée par du liquide mort. C’est ce que fait M. Boussinesq. H trouve que la perte de charge a pour expression celle que donne la formule de Borda, diminuée d’un terme positif, qui, dans la supposition simple d’une largeur à fleur d’eau sensiblement constante sur toute la

points les plus hauts des deux sections extrêmes, par le rapport de la différence des aires de ces deux-sections au double de la plus grande , c’est-à-dire au double de la section d’aval. Il transforme ensuite cette formule en une autre à trois termes, dont un ou deux, à tour de rôle, sont nuis, et les autres . essentiellement positifs , dans les trois cas importants d’un tuyau partout plein, d’un canal découvert, et d’un tuyau qui est plein sur la seconde section, en partie vide, mais sans section morte, sur la première. Ce troisième cas, bien qu’assez usuel, avait été négligé complètement par les traités d’hydraulique. Le deuxième conduit aisément à une expression de la perte de charge ou n’entrent que les aires des deux sections ou de leurs parties vives, et l’élévation du niveau entre la première et la 'Seconde : quand la section amont n’a pas de partie morte, le phénomène étudié est un simple ressaut et l’expression obtenue se confond avec celle qu’a donnée'M. Belanger.

19. — Sur la manière dont lee frottements entrent en jeu , dans un fluide qui sort de l'état,de repos, et sur leur effet pour empêcher T existence d'une fonction des vitesses.

■ M, Boussinesq montre comment l’influence retardatrice du frottement des parois qui limitent une masse fluide se.transmet dans toute la masse, dès l'instant où celle-ci entre en mouvement, et il exprime, par une intégrale empruntée à la théorie analytique de la chaleur, les vitesses croissantes qui se produisent alors à diverses distances d’une paroi,, sous l’action d’une force accélératrice constante qu’on suppose s’exercer, à partir d’un certain moment, sur tout le fluide. Cette intégrale prouve, que, si l’on représente l’influence retardatrice de la paroi en un. point du .fluide par la fraction perdue de la vitesse totale qu’on aurait observée en-ce point sans les résistances passives, chaque degré de cette influence se propagera à des distances diverses z de la paroi au bout de temps proportionnels à leurs carrés z *.

La même intégrale met aussi en évidence le défaut d’une démonstration, que semblait pouvoir permettre de déduire des équations indéfinies classiques de Navier l’extension, aux fluides à frottements que ces équations régissent, du théorème de Lagrange pour les fluides dits parfaits, touchant l’existence d’une fonction <p qui a ses dérivées premières en x, y, z égales aux trois

composantes respectives de la vitesse toutes les fois que cette fonction existe à une époque particulière.

20. — Etude théorique des nappes liquides rétractiles observées par Savarl.

On connaît les belles expériences dans lesquelles Savart lançait verticalement, de haut en bas ou de bas en haut, une veine liquide contre un petit disque circulaire horizontal : la veine s’étalait, autour de la verticale menée parle centre du disque, en une "nappe mince de révolution, qui, pour des vitesses .initiales assez petites, se recourbait et venait sé fermer inférieurement avant de s’être troublée ou réduite en gouttelettes. M. Boussinesq, en étudiant théoriquement ce phénomène, a donné le premier exemple, unique jusqu’ici, que l’on ait d’une solution d’un véritable problème de dynamique où soit en jeu l’action capillaire. Il forme d’abord les équations différentielles du mouvement d’une particule liquide; puis, transformant diversement la courbure moyenne de la nappe, il les intègre une première fois et obtient, d’une part, l’équation différentielle première du méridien , entre son arc et ses deux coordonnées, d’autre part, une équation finie qui donne le temps. Il reconnait aussi qu’une certaine relation entre la vitesse initiale et les deux coordonnées doit être constamment satisfaite , pour que la nappe soit stable ou persistante. Les diverses équations ainsi trouvées suffisent pour déterminer toutes les circonstances de forme , de courbure, etc., que présente la nappe; et elles se trouvent en parfait accord avec les résultats de l’observation. Quant.au calcul dos dimensions absolues des nappes , il ne peut généralement se faire que de proche en proche, par intégrations numériques approximatives, et l’auteur l’effectue dans deux cas, pour lesquels les dimensions trouvées sont bien comparables à celles que l’observation donne : seulement, une confrontation exacte n’est pas possible, parce que Savart a négligé de mesurer certaines quantités que la théorie suppose connues, surtout l’angle fait avec l’horizon par la nappe au départ du plan.

M. Van der Mensbrugghe, dans un mémoire Sur une nouvelle application de l'énergie potentielle des surfaces liquides (Bulletins de l'Académie royale de Belgique , 2 me série, t. XLVI, n° 11 ; 1878), suppose que l’extension rapide éprouvée par les couches superficielles de la nappe les refroidit considérable-

ment, au point de faire varier d’une manière sensible leur tension et, par suite, la constante de Laplaoe ou coefficient de capillarité. H juge donc que l’auteur n’aurait pas dû admettre la constance absolue de ce coefficient ; mais il se dispense de chercher ce que deviendraient, dans l’hypothèse de sa variabilité, les équations différentielles du mouvement et, surtout, leurs intégrales, dont le calcul ne laisse pas que d’être assez délicat avec un coefficient de capillarité constant. D’ailleurs, si l’on ne se contentait pas de cette hypothèse simple, qu’ont faite tous les géomètres qui se sont occupés de la capillarité, d’autres difficultés surgiraient ; il faudrait, comme l’a montré M. Boussinesq, tenir compte d’une certaine différence qui doit exister entre les deux pressions exercées-par l’air sur les deux fèces de la nappe, vu que celle-ci tend à entraîner dans son mouvement le gaz qui l’avoisine et à faire le vide à son intérieur, du moins quand elle est fermée.