II. —- Théorie de l’élasticité des solides

Les plus simples et les plus importants des solides élastiques, après ceux. qu’on appelle isotropes ou d'élasticité constante et qu’on suppose pareillement constitués dans tous ies sens, sont les solides isotropes déformés, c’est-à-dire ceux qui, d’abord isotropes, ont été soumis, suivant trois directions rectangulaires , à des tractions ou pressions assez considérables pour changer d’une manière sensibleleur structure. M. de Saint-Venant a cherché le premier , en 1863, les expressions de leurs forces élastiques : il a trouvé que leur mode de contexture intérieure satisfait à des relations remarquables, caractérisant ce qu’il appelle une distribution ellipsoïdale des élasticités. Mais il a admis (au moins implicitement), dans cette analyse, que l’action réciproque de deux molécules intégrantes d’un solide est une simple fonction de la distance de

leurs centres de gravité, lesquels 'seuls ont leurs déplacements représentés dans les formules usuelles delà théorie de l’élasticité (vu qu’on y fait abstraction des rotations ou déformations locales, plus ou moins complexes, de ces molécules intégrantes). Or, même en accordant que l’action de deux atomes ne dépende toujours que de leur seule distance , on peut douter que l’action totale de deux molécules intégrantes d’un solide admette une expression aussi simple (surtout lorsqu’il s’agit de déformations persistantes capables d’altérer la composition des molécules jusqu’à détruire ou changer leur individualité ); et d’ailleurs, on ne s’explique guère, dans cette hypothèse, comment les molécules du corps ne reviennent pas à leurs situations primitives dès qu’on supprime les actions déformatrices, c’est-à-dire comment il se fait que de légères altérations de contexture persistent définitivement.

Il y avait donc lieu d’envisager la question à un autre point de vue, en s’appuyant seulement sur la loi générale dé continuité et sur l’hypothèse de l’isotropie du corps primitif. C’est ce qu’a fait M. Boussinesq en 1867, avant de connaître M. de Saint-Venant et de savoir que le problème avait déjà été traité. Le point de départ de son analyse consiste à supposer que les changements de contexture produits, assez faibles par hypothèse, ajoutent aux coefficients d’élasticité du corps (tant à ceux qui existaient déjà qu’à ceux qui étaient nuis), de petits termes, du premier degré par rapport aux actions déformatrices employées successivement, termes qui peuvent en outre dépendre du temps. Il lui suffit d’exprimer d’ailleurs que la contexture était d’abord isotrope, qu’elle est restée symétrique par rapport aux plans rectangulaires sur lesquels se sont exercées normalement les pressions ou tractions, et qu’elle serait mêm e restée isotrope autour d’un axe si les pressions déformatricès s’étaient trouvées pareillement distribuées tout autour de cet axe , pour obtenir les formules découvertes par M. de Saint-Venant, et exprimant la distribution ellipsoïdale des élasticités.

22. — Sur des relations générales et nouvelles e corps et ses forces élastiques.

e l'énergie interne d’un

Dans la plupart des applications de la théorie de l’élasticité, les corps peuvent être supposés d’abord à l’état naturel, c’est-à-dire soustraits à toute

tous affectés des très-petites déformations produites. Alors ces expressions sont homogènes, du premier degré, et leurs dérivées par rapport aux coordonnées primitives n’ont aucun terme dont il faille, dans les formules, conserver les produits par des quantités de l’ordre des déformations, à côté d’autres termes fonctions linéaires de celles-ci. Il en résulte que les forces élastiques s’exerçant sur l’unité de surface actuelle d’éléments plans actuellement normaux aux axes peuvent n’être pas distinguées de Celles que supporte l’unité de surface primitive d’autres éléments plans primitivement normaux aux axes et ayant pourcoordonnées ‘primitives les coordonnées actuelles des premiers. Il en résulte aussi que, dans les équations de mouvement déduites de la considération d’un parallélipipède élémentaire- actuellement rectangle, et dans les expressions des travaux des forces appliquées à ses faces, des dérivées prises par rapport aûx coordonnées actuelles peuvent être confondues avec celles qu’on prendrait par rapport aux coordonnées primitives ou d’état naturel. C’est- dans ces hypothèses restrictives que les géomètres, sans l’avoir suffisamment remarqué, ont établi les formules usuelles dè la théorie de l’élasticité, notamment les équations indéfinies de l’équilibre ou du mouvement et les relations , déduites du principe de l’énergie, par lesquelles on exprime les composantes des pressions au moyen des six dérivées partielles du potentiel, Ail d’élasticité, par rapport aux six déformations correspondantes.

Or, les réductions ainsi effectuées ne sont permises, ni dans la question des ondes liquides, où la dérivée de la pression dans le sens vertical est finie quelque petits que soient les déplacements, ni, en général, dans le problème des vibrations d’un solide que l’on comprime fortement et inégalement, en sens divers, avant de l’ébranler. Donc, et quoiqu’il suffise de rétablir dans ces cas exceptionnels les plus influents des termes négligés, il y avait lieu, d’une part, de chercher les équations générales exactes de l’équilibre ou du mouvement, quand on prend pour variables indépendantes

symétrie des formules trouvées compense leur complication. Dans la supposition d'une petitesse des déplacements suffisante pour qu’on puisse supprimer leurs carrés et produits devant leurs premières puissances, cette analyse conduit, entre autres résultats, à des formules découvertes par Cauchy et dont M. de Saint-Venant a montré plus d’une fois la réelle importance. Mais Cauchy les avait établies en partant de l’hypothèse, aujourd’hui contestée, d'actions mutuelles fonction de la seule distance des deux molécules qui les exercent l’une sur l’autre, supposition que M. Boussinesq s’abstient de

!3. — Etude nouvelle sur l'équilibre et le mouvement des corps solides élastiques dont certaines dimensions sont très petites par rapport à (Pautres. — Premier mémoire : Des tiges.