Deuxième partie : Des plaques

(Journal de Mathématiques, 1879; t. V, p. 929 à 944.)

Ce qui caractérise évidemment l’état mécanique des solides très allongés ou très aplatis (tiges eh plaques), c’est que ces corps sont divisibles, parmi ou par deux systèmes de sections normales, en une multitude de tronçons prismatiques courts, tels, que deux contigus se trouvent sensiblement dans les mêmes conditions et éprouvent, par suite, des déformations à peu près égalés. On peut donc prendre pour point de départ naturel de leur théorie ce principe* que , abstraction faite de régions ou zones exceptionnelles, les déformations et les pressions, tout en pouvant varier beaucoup d’un point

à l’autre dans le sens des petites dimensions de ces corps, changent, au contraire, bien plus lentement dans les sens de leurs grandes dimensions. Gomme, d’ailleurs, les forces extérieures et les inerties appliquées directement à un tronçon n’ont qu’une influence minime sur son état à côté de l’action qu’exercent les tronçons voisins, on peut prendre pour type des modes vrais de déformation de ces tronçons ceux de prismes en équilibre , dans lesquels la masse intérieure, ainsi que les faces latérales ou les bases, seraient libres de toute action extérieure, tandis que la constitution de la matière, les pressions et les déformations s’y trouveraient les mêmes, soit le .long de chaque normale aux bases, soit sur toute l’étendue de chaque plan parallèle aux bases. Tel est le point de vue nouveau, oü du moins peu remarqué jusqu'ici des mécaniciens géomètres, auquel s’est placé M. Boussinesq dans les mémoires dont il s’agit.

H a pu d’abord déduire de son principe, par une analyse absolument rigoureuse (et simple, une fois découverte), le postulatum que M. de Saint- Venant avait admis ou pris comme donnée, en tête de ses belles recherches sur la torsion et la flexion des prismes , sans le justifier autrement qu’u posteriori : il consiste en ce que les fibres longitudinales d’une tige n’exercent, les unes sur les autres, aucune action sensible dans des directions perpendiculaires à leurs longueurs, tout en pouvant en exercer suivant leurs tangentes. MM. Clebscb, Kirchhoff, W. Thomson et Tait, etc., qui ont reproduit, chacun à leur manière, les travaux de M. de Saint- Venant, se sont contentés, comme lui, d’admettre ce fait. M. Boussinesq démontre qu’il est toujours exact à une première approximation, et qu’il Test même, dans le problème de la flexion des prismes, à cette deuxième approximation où Ton calcule, par la méthode qu’a donnée M. de Saint- Venant , les petits glissements et les gauchissements légers que font naître les efforts tranchants. B l’établit d’ailleurs, non-seulement pour des prismes dont la matière est isotrope et homogène, mais aussi pour tous ceux où les sections normales sont seulement des plans de symétrie de contexture et où les fibres, sans être homogènes, sont telles, qu’elles éprouveraient, étant isolées, les mêmes contractions latérales si on les tirait de manière à les allonger toutes également : conditions aussi étendues qu’on peut le désirer dans la pratique , et nécessaires pour que les déformations de ces corps admettent des lois générales simples.

L’auteur développe ensuite, dans son ensemble, la théorie des tiges, en y introduisant un certain nombre d’aperçus nouveaux. Il prouve, par exemple,

d’une manière purement géométrique, une proposition importante deM. de Saint-Venant, d’après laquelle, dans le phénomène de la torsion d’un prisme, l’angle dont tourne chaque section normale par rapport à une autre est constant quelle que soit la fibre longitudinale que l’on prend pour axe de rotation. Il montre encore que, si l’on considère, d’une part, la section normale d’un prisme homogène plein et tordu, d’autre part, celle d’un tube poli et mouillé, ayant intérieurement même forme que ce prisme, et où, sous une certaine pente, coule par filets rectilignes, d’un mouvement uniforme bien continu, un liquide qui le remplit, les courbes d’égale vitesse tracées dans la section fluide seront partout de même direction que les forces tangentielles exercées aux points correspondants de la section du prisme tordu, et que la dérivée de la vitesse d’écoulement, à partir de chaque point d’une de ces courbes, suivant le sens qui lui est normal, sera numériquement égale à la force tangentielle s’exerçant par unité d’aire âu même endroit du prisme. Il résulte aisément de cette analogie que les glissements maximum , dus à la torsion, se produisent, en général, en des points du contour voisins du centré, ou, s’il s’agit de certaines sections très évidées, voisins des centres partiels des principaux lobes qui les composent : loi pratique importante , vérifiée sur un grand nombre d’exemples qu’a pu traiter M. de Saint-Venant. Enfin, le moment total des forces qui produisent la torsion est numériquement le double du volume liquide débité par le tube dans l’unité de temps; etc.

Le premier mémoire, sur les tiges, se termine par un établissement complet des équations, tantindéfinies que définies (relatives, les unes, à des points déterminés, les autres, à l’état dynamique initial), du mouvement vibratoirè, soif longitudinal, soit transversal, soit tournant, de barres élastiques, d’une section constante ou variable d’un bout à l’autre, unies, en quelques points, à des masses rigides : ce qui est une condition pour que les résultats de leurs intégrations puissent servir à la solution des problèmes de résistance vive mise.en jeu par les chocs dépareilles masses, qui exécutent, avec les barres, toujours, au moins la première vibration.

En étudiant les plaques au même point de vue naturel, M. Boussinesq arrive rapidement, sans aucune hypothèse accessoire et pour toute contexture de la matière, aux formules'générales de leur théorie, notamment aux expressions des couples, dits de flexion et dé torsion, qu’il faut connaître pour former l’équation indéfinie de la flexion. Il obtient donc, ën particulier,

l’équation classique aux dérivées partielles du quatrième ordre, due à Lagrange et propre aux plaques planes isotropes.

L’analyse de l’auteur, embrassant les cas généraux où des tensions considérables existent antérieurement aux déformations étudiées, s’applique aussi aux fils et aux membranes , beaucoup plus flexibles qu’extensibles, et elle permet, par exemple, d’évaluer l’influence de leur degré de rigidité sur la hauteur des sons qu’ils émettent lorsqu’on les tend.