Sur les conditions spéciales au contour des plaques

' Poisson a cherché le premier, pbur une plaque élastique mince, les conditions générales, propres à ses bords, qu’il faut joindre aux équations indéfinies de l’équilibre ou du mouvementpour déterminer son état mécanique. S’appuyant sur le principe, en quelque sorte instinctif, que des forces extérieures appliquées à une petite partie du contour produisent sur la plaque, à une certaine distance de leur région d’application, les mêmes effets que d’autres forces statiquement équivalentes qui s’exerceraient sur cette même région, il a réduit à une résultante et à deux couples toutes celles qui sollicitent chaque mince bande du cylindre contournant comprise entre deux génératrices de ce cylindre. Il s’engageait donc implicitement ^ par le fait même, à ne pas considérer les vraies déformations produites dans chaque cas près du bord, mais seulement celles qui s’observent à l’intérieur, là où n’influent plus sensiblement les modes infiniment variés d’application des forces et des couples qu’il introduit. En d’autres termes, il transformait la question proposée en une autre infiniment plus simple, partant accessible, et qui n’en diffère pour ainsi dire pas aux yeux du physicien et de l’ingénieur.

Seulement, Poisson ne s’est pas aperçu que le même principe de réduction, sous les mêmes réserves, lui permettait, en faisant tourner convenablement dans son plan celui des deux couples (dit de torsion) dont les forces sont parallèles à la bande, de diriger ces forces : suivant les génératrices et de les fondre par suite, pour toutes les bandes, dans les efforts tranchants, c'est-à-dire, en somme,, dans les forces résultantes qü’il considère, de manière à ne conserver plus qu’un seul couple (dit de flexion.) normal au contour, M. Boussinesq, complétant ainsi ce raisonnement implicite, a opéré, dans le mémoire de 1871 sur les plaques. cette réduction des . couples de torsion à des efforts tranchants ; réduction dont la possibilité et la nécessité résultaient déjà, d’ailleurs, d’une belle analyse de M. Kirchhoff empruntée à la méthode des variations qu’emploie Lagrange.

L’auteur ignorait, à cette époque, que MM. William Thomson et Tait avaient, quatre ans avant lui, en 1867,-donné la même réduction, par la même voie géométrique, et qu’ils avaient exprimé approximativement les petites erreurs qu’elle entraîne, au moyen d’exponentielles très-rapidement décroissantes^ réduisant à-des fractions complètement insensibles de leurs valeurs sur le bord, dès qu’on est à une distance du bord égale à une ou deux fois l’épaisseur de la plaque. Or, si l’on voulait mettre en compte de pareilles . erreurs, qui ne sont considérables qu’au bord, il faudrait, du même coup, évaluer aussi celles de nature analogue qu’entraînent inévitablement les réductions déj à faites par Poisson et impliquées dans l’emploi de ses conditions aux limites. On ne gagne donc rien, sous le rapport de l’exactitude,,; à conserver, en sus des conditions strictement nécessaires pour déterminer l’état de la plaque à quelque distance du contour, la condition surabondante 4e Poisson, qui ne fait qu’empêcher de réduire les intégrales-à leur forme la plus simple, en obligeant d’y introduire une des catégories des perturbations locales produites près du bord. Si, comme il vient d’être dit, l’on demandait une analyse propre à représenter l’état vrai du contour en même temps que celui de l’intérieur, ce n’est pas une condition de plus qu’il faudrait , mais bien une infinité, puisqu’on devrait exprimer, dans chaque cas, le mode effectif de distribution de la multitude de forces élémentaires dont se composent, et les couples de torsion, et les couples de flexion, et les efforts tranchants, etc. Aussi, sans entrer dans ces considérations qui sont dues à M. Boussinesq, MM. Thomson et Tait regardent-ils leur calcul des effets propres des couples de torsion, c’est-à-dire des effets que néglige la réduction de ses couples en efforts tranchants, comme une

nouvelle preuve, en quelque sorte a posteriori, de la légitimité de la réduction qu’avait opérée en premier lieu M. Kirchhoff par une méthode indirecte, et de l’inutilité de la condition surabondante de Poisson.

Or, en 1877, M. Maurice Levy, ayant retrouvé, pour exprimer les effets propres des couples de torsion, les mêmes termes que les illustres professeurs écossais, mais seulement sous une forme plus générale et beaucoup plus compliquée qui n’en montrait pas le vrai sens, a pensé que ces termes exprimaient de véritables déformations d’ensemble, aussi importantes que toutes les autres dont s’occupe la théorie classique des plaques, et il a reproché à M. Boussinesq d’avoir opéré la réduction (qui n’en tient nul compte) de deux dgs conditions de Poisson à une seule. Le but des trois articles rappelés en tête de ces lignes a été de répondre à cette critique. L’auteur y expose, plus clairement qu’on ne l’avait fait, l’état vrai de la question, dans le sens qui vient d(être indiqué : de plus, il réduit les termes trouvés par M. Levy à la forme approchée simple qui montre leur portée véritable et qui est précisément celle qu’avaient aperçue MM. Thomson et Tait dans leur livre de 1867.

80. — Sur deux lois simples de la résistance vive des solides.

Dans une importante catégorie de problèmes sur le choc, on imagine qu’une barre élastique, d’abord en repos, soit heurtée longitudinalement ou transversalement par une masse solide qui ne la touche que dans une petite étendue, où il est permis de la supposer concentrée, et l’on'étudie le mouvement qu’exécute la barre, pendant le temps où ce corps lui reste uni. Les lois d’un tel choc sont d’une extrême complication, sicen’estdansle cas limite où l’on peut supposer l’inertie du corps élastique négligeable et où, par suite, le calcul de la forme de la barre à chaque instant dépend d’un problème de statique pure. Or, M. de Saint-Venant a vérifié, sur un assez grand nombre d’exemples, que deux circonstances importantes, savoir, la hauteur du son fondamental du choc et le déplacement maximum correspondant du corps heurté, pouvaient s’évaluer à fort peu près dans cette hypothèse simple, même quand l’inertie de la barre est loin d’être négligeable, à la condition de supposer que, la quantité initiale de mouvement de la masse heurtante restant la même, oette masse soit fictivement accrue de la somme des produits

de chaque élément de la masse heurtée par le carré du rapport de ses déplacements aux déplacements simultanés du corps heurtant, tous ces déplacements étant calculés en effet dans la supposition d’une déformation purement statique du corps heurté.

Il restait à trouver la raison de ces deux curieuses lois, et à démontrer qu’elles sont générales. C’est ce que M. Boussinesq a fait directement, pour un corps élastique d’une forme et d’une constitution quelconques et non pas seulement pour une barre, en cherchant les expressions générales des mouvements simples produits par le choc, et en prouvant que', lorsqu’onsebome au son fondamental rendu par le système vibrant et aux déplacements qu’éprouve le point heurté, ces expressions dépendent d’une certaine intégrale , transformée du potentiel d’élasticité, à laquelle une valeur relativement assez petite de la masse du corps heurté n’ajoute que des termes comparables en tout au carré de cette valeur. L’auteur étend même la loi à des cas où il y aurait plusieurs masses heurtantes. Enfin, il prouve que, dans les cas les plus usuels, où les mouvements sont à la fois de même sens pour tout le. corps élastique, la durée de vibration du son fondamental est un quotient dont la loi énoncée conduit à altérer par défaut les deux termes : l’erreur relative du résultat n’est donc qu’une différence de deux autres, et l’on s’explique que M. de Saint-Venant ait trouvé cette loi encore assez bien vérifiée, même pour des rapports de la masse élastique à celle du corps heurtant qui, loin d’être très-petits, allaient jusqu’à deux, trois et quelquefois, quatre.

31.— Equilibre, d! élasticité d’un sol isotrope sans pesanteur, supportant différents poids.

32. — Des déplacements que produit, à l’intérieur d’un sol élastique , une pression normale exercée en un point de sa surface.

(Comptes-Rendus, -, avril 18W ; t. LXXXVIII, p. 141.)

La complication et le peu d’applicabilité des belles intégrales de l’équilibre d’une sphère, trouvées par Lamé, les recherches infructueuses des géomètres, pour aborder d’autres cas de solides à trois dimensions, étaient loin de faire penser, avant ces recherches, que les déformations produites dans un sol

élastique parle poids d’un petit corps déposé à sa surface, ou celles qu’on détermine dans un solide en le touchant, comportaient, au contraire , une expression éminemment simple. M. Boussinesq y a été conduit en cherchant à appliquer les potentiels d’attraction à ce problème, de la mèmè manière qu’il l’avait fait en 1870 à la question de l’écoulement des liquides par les orifices. Imaginant une couche matérielle fictive étalée sur une partie de la surface du corps, et, d’autre part, un point quelconque intérieur au corps, il conçoit qu’on multiplie chaque élément de la couche par le logarithme népérien du total des deux distances dü point à cet élément et au plan même de la couche ; la somme de tous les produits pareils , qu’il appelle 'potentiel logarithmique à trois variables, et qui a pour une de ses dérivées premières le potentiel ordinaire relatif à la couche, lui donne, par diverses différentiations, trois types distincts des intégrales de l’équilibre du sol ou du corps considéré ; et leur superposition constitue l’intégrale générale.

Dans le cas particulier d’une simple pression élémentairê dV , dirigée suivant une normale à la surface, les deux déplacements, l’uhw, de même sens que cette normale, l’autre , u ,. dans le sens perpendiculaire qui s’en éloigne , valent respectivement

au point situé à la distance r du point d’application de la pression et dans une direction faisant l’angle a avec cette pression : X et n désignent les deux coefficients constants d’élasticité. L’enfoncement et la contraction qu’éprouvent des cercles concentriques ou conaxiques tracés , les uns, à la surface, autour du point pressé , les autres, à l’intérieur, sur des cônes de révolution ayant pour axe la pression exercée, sont donc régis par des lois trèssimples , dont la première consiste dans leur proportionnalité inverse à la distance r au'sommet. Un de ces cônes, pour lequel la composante transversale u du déplacement est nulle, entoure la matière qui s’éloigne de l’axe, sous l’effet de la compression, et la sépare de la matière, qui, au contraire, s’en rapproche ; etc.

33 — Sur la dépression que produit , à la surface d'un sol horizontal , élastique et isotrope , un poids qu'on y dépose, et sur la répartition de ce poids entre les divers points de sa hase d'appui.

34. — Swrla manière dont se distribue entre ses points d'appui U poids d’m corps dur, posé sur un sol poli, horizontal et élastique': identité de ce mode de répartition, pour une base de sustentation plane et horizontale, avec celui cCune charge électrique en. équilibre sur une plaque mince de même forme que cette base.

35. — Sur une loi intuitive, d'après laquelle se répartit le poids d’un disque circulaire solide, supporté par un sol horizontal élastique.

Dans ces articles, l’auteur superpose les effets d’une infinité de pressions élémentaires. , s’exerçant sur tous les éléments d’une région finie de la • surface d’un sol ,ou d’un corps élastiques, et il calcule la forme que prend alors cette surface,, tant dans la pariie directement comprimée que dans celle qui reste libre. Comme on peut supposer de pareilles pressions, sur un sol horizontal, par exemple , dues à une mince couche d’un sable trèslourd dont chaque grain pèserait sur l’élément sous-jacèht dé la surface , et comme d’ailleurs chaque pression <fP produit des enfoncements partout proportionnels au produit de rfP par l’inversé de la distance à son point d’application, l’enfoncement total sera de même représenté , sur toute la surface, par le potentiel ordinaire ou inverse relatif à la obUbhe. Le calcul en est facile, soit, à d’assez grandes distances de la région d’application, quelque compliqué que soit le mode de distribution delà charge, soit même partout dans bien des cas, notamment quand la région d’application est circulaire et que la pression y est distribuée, ou uniformément, ou paraboliquement le long de chaque rayon et de la même manière sur tous, etc., ou encore de manière que la surface d'application reste plane et horizontale. Dans ce dernier oas, l’enfoncement commun de la région comprimée s’écarte peu dé la moyenne des enfoncements qui seraient produits en ses divers points , si la pression totale s’y trouvait distribuée uniformément. Mais cette charge totale est loin d’être ainsi répartie: c’est sur toute une calotte demi-sphérique, décrite avec le cercle d’application comme base, qu’il faudrait la distribuer uniformément , si l’on voulait qu’ensuite, en laissant tomber verticalement sur le cercle d’application chaque partie de la charge, elle s’y trouvât disposée comme il convient pour que la région d’application reste plane et horizontale. Une loi analogue, un peu moins simple, s’applique à toute région d’application elliptique qui doit également rester plane et horizontale.

L’auteur démontre qu’il n’y a qu’une seule manière, de répartir la pression, qui donne à la. surface comprimée une forme définie, plane ou courbe ; si donc on connaît cette forme, comme il arrive quand un corps pesant et poli, beaucoup plus dur que le sol, y reste déposé et lui Communique l’empreinte de sa base de sustentation , le mode de distribution de son poids entre tous les éléments de cette base sera parfaitement déterminé. Par suite, si la base se trouve être, ou l’une des surfaces courbés calculées précédemment , ou simplement un plan horizontal, ce mode sera, ou uniforme, ou parabolique, etc., ou uniforme sur un tableau hémisphérique à la surface, duquel on verrait, d’un point situé à l’infini au-dessus du centre, la charge se projeter en perspective, etc. Il y aura toutefois , en réalité , comme (dans un grand nombre d’autres, questions de physique mathématique, des anomalies ou perturbations- locales , sans influence surl’ensèmble, aux endroits spéciaux où des presssions trop fortes par unité d’aire mettraient en défaut fihypothèse approximative de la persistance absolue de forme de la base 111 .

Ainsi se trouve résolu, pour les cas les plus simples , un problèmo intéressant de philosophie naturelle, qu’on n’avait pu traiter encore, quoiqu’il eût été. soulevé, depuis un siècle, par d’Àlembert et Euler, savoir, le problème de la répartition dU poids d’un corps, posé sur le sol, entre tous les éléments delà surface de contact.

Cette propriété consiste en ce que tout système de droites parallèles et équidistantes, infiniment voisines, divise l’ellipse de sustentation en bandes également chargées, malgré l’extrême inégalité de leurs longueurs.

37. — Du 'potentiel cylindrique ou logarithmique à trois variables et de son emploi dans la théorie de l'équilibre d’élasticité.

(Comptes-Rendus, 31 mars 1819 ; t. LXXXVIII, p. 701.)

38. — Application des potentiels directs de Lamé au calcul de l'équilibre d'élasticité d'un solide isotrope et homogène indéfini , sollicité dans une étendue finie par des forces extérieures quelconques. •

39. — Lois géométriques des déformations que produit u/ne force , appliquée en un point d’un solide indéfini, et calcul des erreurs que Ion commet lorsque , d? après les principes de la mécanique classique, on conçoit ce point d’application déplacé dans la direction de la force.

Dans ces articles, l’auteur cherche ce que deviennent les trois types d’intégrales des équations indéfinies de l’équilibre d’élasticité qu’il avait déduits de la considération du potentiel logarithmique à trois variables, lorsque la matière fictive par rapport à laquelle on prend le potentiel n’est plus une simple couche, mais une masse quelconque. Alors ces types représentent des modes d’équilibre de corps homogènes, à l’intérieur desquels seraient appliquées, par unité de volume, certaines forces extérieures. L’un d’eux donne immédiatement la solution d’un problème déjà traité, d'une manière plus longue et assez

pénible, par MM. William Thomson et Tait, et il la donne sous une forme beaucoup plus simple que la leur, bien que. concordante : c’est le problème des pressions et déformations que produisent, dans un solide supposé indéfini en tous sens(ou dont la surface est assez loin pour ne pas modifier les résultats), des forces quelconques, s’exerçant sur une partie connue de ce solide. Quand les forces se réduisent à une seule, élémentaire, les formules sont extrêmement simples : toute couche sphérique, découpée par la pensée dans le corps autour du point d’application comme centre, éprouve, suivant le sens de la, force, un déplacement inversement proportionnel à son rayon, en conservant sa forme et sa grandeur, quoiqu’il y ait des glissements à sa sur-

40. —Sur Vapplication des potentiels à la théorie de t équilibre d'élasticité.

Ce mémoire étendu , terminé depuis le mois de juin 1879, doit paraître en 1880 et 1881 dans le Journal de Mathématiques pures et appliquées. Outre le développement des idées résumées dans les neuf articles précédents, il contient :

1° Diverses généralisations, telles que l’étude des modes de déformation d’un sol élastique, transformés d’autres par rayons vecteurs réciproques ;

2° Le calcul des perturbations locales que produisent, dans des circonstances variées , des forces données se neutralisant (ayant résultante et moment totaux nuis) et appliquées toutes à l’intérieur d’une même petite région d’un corps, perturbations dont le décroissement est représenté, soit par l’inverse du cube de la distance à la région d’application, soit par une exponentielle à exposant négatif proportionnel à la distance, suivant que le corps est massif ou suivant qu’il a, au contraire , certaines dimensions beaucoup plus petites que d’autres ;

3° Des considérations synthétiques, montrant qu’en général toutes les perturbations compliquées, de la nature des précédentes, et dont la mécanique pratique est obligée de faire abstraction, sont incomparablement plus localisées, autour des points où siègent les causes qui les font naître, quand il s’agit des tiges et des plaques , dont les tronçons ont une certaine liberté les uns par rapport aux autres , que lorsqu’il est question de corps massifs, où la solidarité des parties estbeaucoupplusgrande : on vérifie ainsi que, dansles calculs

relatifs aux pièces qu’emploient les constructeurs, il est permis de négliger ces perturbations comme si elles n’existaient pas, sauf à renforcer quelquefois les endroits où elles ont lieu ;

4“ Des réflexions prouvant que les véritables solutions simples, ou intégrales simples, des problèmes de physique mathématique, sont tout autres pour des milieux indéfinis que pour des corps limités. Dans un milieu indéfini, les solutions simples vraiment naturelles, ou ayant une signification concrètê, correspondent au' cas où la cause des phénomènes étudiés n’existe que dans une partie, infiniment petite en tous sens, de sa région possible d’application, et elles représentent les effets propagés de là dans tout le milieu ; tandis que, pour un corps limité, les intégrales simples correspondent aux cas oùla cause des phénomènes s’exerce dans toute l’étendue de son siège possible, avec une intensité variable, calculée, précisément, de telle manière que les effets produits se propagent d’un point à l’autre ou d’un instant à l’autre en conservant leurs rapports primitifs. Quand on suppose que les dimensions du corps grandissent indéfiniment, le passage de ces dernières intégrales simples aux précédentes peut se faire en en condensant une infinité, parmi celles que donne, par exemple , l’application de la formule de Pourier, où l’on sait que les signes d’intégration définie vont toujours par deux, correspondant, l’un, à une variable d’intégration qui représente une coordonnée, l’autre, à une variable d’intégration auxiliaire. En d’autres termes, il faut grouper , sous les signes d’intégration définie qu’introduit la formule de Fourier et dont les variables ne sont pas des coordonnées, tous les éléments de la solution générale pour lesquels les autres variables d’intégration sont les coordonnées d’un même point de l’espace : cette somme, si l’on y effectue les intégrations, devient la solution simple naturelle pour le cas d’un milieu indéfini.