III. — Mécanique des corps semi-fluides

41. — Intégration de V équation aux dérivées partielles qui peut donner une deuxième approximation, dans le calcul rationnel de la poussée exercée

Macquorn-Rankine a trouvé, en 1856, l’équation indéfinie caractéristique de l’état d’un massif pesant sablonneux qui commence à s’ébouler dans une certaine étendue : il lui a suffi, pour cela, de formuler la loi connue, d’après laquelle la pression la plus inclinée sur la normale à l’élément plan qu’elle sollicite fait avec eétte normale, en chaque point, du • massif qui s’éboule, un angle égal à celui de frottement intérieur ou de terre coulante. Cette équation, jointe à celles de l’équilibre intérieur de tous les corps appliquées pour la supposition d’un massif se terminant supérieurement à un talus plan et indéfini dans les autres sens, lui fit reconnaître la possibilité et les lois de deux modes d’équilibre-limite, qui correspondent, l’un, au cas où. le massif s’éboule par détente, comme lorsqu’un mur le soutenant inférieurement vient à s’écrouler, l’autre, au cas où il s'éboule par compression en refluant au-dessus de la surface, comme il arriverait si le mur, au lieu de fuir le massif, le refoulait au contraire sous l’effet d’une pression exercée du dehors. M. Maurice Levy a considéré aussi, en 1867, le premier de ces deux modes d’équilibre, et il a donné des formules propres à en déterminer les conditions, c’est-à-dire à calculer l’inclinaison que doit avoir la face postérieure d’un mur pour que ce mode se réalise jusque dans les couches de terre voisines du mur, quand o.n admet a •priori que l’éboulement se produit partout à la fois, même au contact du mur de soutènement, ou que la poussée exercée contre ce dernier fait précisément avec la normale à sa face postérieure l’angle dit de frottement extérieur. Or, en examinant son mémoire, M. de Saint-Venant se demanda quels modes d’équilibrelimite, voisins de celui-là et ne s’en distinguant, dans les formules, que par des termes réductibles à leurs parties du premier ordre de petitesse, pourraient permettre de donner au mur des inclinaisons un peu différentes de l’inclinaison particulière obtenue, sans que la condition de l’éboulement cessât d’y être satisfaite au contact du mur et du massif.

Telle est la question à laquelle les recherches de M. Boussinesq, analysées ici, répondent, non-seulement pour' le cas d’un massif ayant sa surface supérieure plane et que soutient un mur à face postérieure plane aussi, mais pour un massif et un mur dont-les profils offrent de légères courbures, pourvu que leurs tangentes ne fassent pas des angles de plus d’une quinzaine de degrés avec les directions analogues correspondant au mode déjà étudié par Macquorn-Rankine. En intégrant d’abordles équations indéfinies, l’auteur trouve que l’expression la plus générale possible des nouveaux modes comprend deux fonctions arbitraires. Celles-ci, au moyen des conditions spéciales

à la surface supérieure ou libre, se déterminent ensuite pour tout l’espace compris entre le talus supérieur courbe, d’un côté, et, de l’autre côté, un mur plan idéal, qui, partant du bord de ce talus, aurait précisément l’inclinaison à laquelle conviendrait la solution particulière rappelée tout-à-l’heure, si on la calculait pour un talus plan d’inclinaison moyenne entre celles de la surface véritable du massif. Les deux, fonctions arbitraires ainsi obtenues sont nulles, dans tout cet espace, quand le talus supérieur est plan. De plus, les mêmes conditions à la surface déterminent encore l’une des deux fonctions arbitraires, en dehors de cette région comprise entre le talus et le mur idéal, et cette fonction s’y trouve également nulle lorsque la surface est plane.

Par suite, quand le mur vrai à sa face postérieure hors de l’angle compris entre le talus supérieur et le mur idéal, ou que l’inclinaison de cette face sur la verticale est moindre que dans la solution Rankine-Levy, lé massif comprend, outre la première région dans laquelle tout est déjà déterminé, une petite partie, contiguë au mur réel, et où rien n’empêche de choisir la seconde fonction arbitraire, restée disponible, de manière que la condition de glissement spéciale à la face postérieure du mur se vérifie. Alors l’état ébouleux est possible dans tout le massif, quoique ses lois changent au passage d’une- région à l’autre, c’est-à-dire de part et d’autre de la face postérieure du mur idéal.. Si, au contraire, cette face est en dehors du massif, ou que le mur réel faSse avec la verticale un angle plus grand que le mur idéal, tout le massif est compris dans la première région, où les fonctions arbitraires sont déjà complètement déterminées, et il devient généralement impossible de satisfaire à la condition de glissement contre la paroi. Un résultat pareil indique que l’éboulement ne pourra pas s’étendre à tout le massif, et que le mur solide retiendra, par son frottement, une certaine masse de terre qui devra le suivre en bloc, du moins dans la première partie, seule considérée , de la chute.

Ces résultats prouvent que la théorie de l’équilibre-limite d’un massif pulvérulent est délicate: ils conduisent à ne pas affirmer, comme règle générale, que l’état ébouleux, lors du renversement d’un mur, se déclarera simultanément partout et sera régi, près du mur, par les mêmes lois qu’à une certaine distance. Rankine avait eu sans doute le pressentiment de ces difficultés , quand, dans son mémoire de 1856, il a évité, autant qu’il l’a pu , de se prononcer sur ce qui se passe au contact des murs et du massif. A cet effet, il regarde comme faisant corps avec le mur (du moins dans le cas d’un mur à fruit intérieur) un coin de terre contigu, qu’il délimite du

poussée la pression (extrêmement facile à calculer et à construire ) que supporte ce plan vertioal Ou cette face idéale au moment où le corps du massif passe à l’état ébouleux.

Le résultat pratique auquel il est ainsi conduit, pour la condition d’équilibre du mur, ne diffère pas d’ailleurs, dans le cas d’un mur à fruit intérieur dont la face postérieure est dirigée comme le suppose M. Levy (c’est-à-dire suivant l’un des deux systèmes des joints naturels de rupture du massif), du résultat qu’on obtient en employant la formule de poussée donnée pour ce cas par M. Levy : car, le coin de terre ayant alors sa base en haut, sur le talus, et libre de toute pression, il y a équilibre entre son poids et les pressions que supportent ses deux faces ; en sorte que la poussée considérée par M. Levy, ou exercée sur le mur vrai, produit la même impulsion totale et ale même moment total que l’ensemble de la poussée fictive considérée par Rankine et du poids même du coin de terre, que Rankine ne manque pas de mettre en compte.