Sur l’équilibre <Xélasticité des massifs pulvérulents

43. — Essai théorique sur Véquilibre des massifs pulvérulents , comparé à

celui de massifs solides, et sur la poussée des terres sans cohésion.

Ces mémoires contiennent, outre le développement des théories résumées

ment à un talus plan, sont mis par l’auteur eu regard de ceux que pourraient présenter des masses solides de même forme ; etc. La principale utilité de leur étude est de montrer que, du moins à une certaine distance d’un mur de soutènement fc’est-à-dire là où le massif doit se comporter à peu près comme s'il était latéralement indéfini), les déformations ont la même grandeur en tous les points, de sorte que tous ces points deviendront dangereux à la fais si l’épaisseur du mur diminue peu à peu jusqu’à compromettre la stabilité : ce qui confirme l’hypothèse fondamentale d’après laquelle l’état ébouleux s’établit presque simultanément dans tout le massif (en n’épargnant, tout au plus, qu’une région restreinte protégée par le frottement du mur), hypothèse que M. Levy a cru pouvoir admettre sans la discuter, mais qui n’est pas évidente, et que Rankine, sentant le besoin de la justifier, n’avait su étayer que sur un principe obscur, très contestable, de moindre résistance, attribué à Moseley.

M.» Boussinesq essaie encore de donner, une théorie générale des états ébouleux et plastique , que peuvent présenter respectivement les masses inconsistantes et les corps ductiles, en regardant ces états comme des cas extrêmes de l’état élastique ordinaire de la matière ; et il explique, au moyen des formules ainsi déduites, la constance de la vitesse d’écoulement du sable par un orifice hors d’un vase beaucoup plus large que l’orifice, quelle que soit la hauteur de charge, supposée toutefois notablement supérieure aux dimensions de l’orifice.

Bornons-nous ici à reproduire les conclusions du Rapport lu, sur ce travail, par M. de Tilly, à l’Académie Royale de Belgique : « Ce mémoire renferme l’exposition des principes et des résultats les plus immédiats d’une branche nouvelle et féconde de la mécanique moléculaire ou interne. On avait réussi à représenter par des équations aux dérivées partielles l’équilibre d’élasticité des solides, ainsi que celui des fluides, et l’on avait même pu, dans les cas les plus simples, intégrer ces équations. Il restait à traiter le même problème pour les massifs pulvérulènts ou sablonneux, intermédiaires entre les solides et les fluides, et plus difficiles à étudier, à cause même de ce caractère mixte. C’est ce qu’a fait M. Boussinesq. Il a, de plus, en rattachant la théorie de l’équilibre-limite à celle de l’équilibre d’élasticité, éclairé d’un jour nouveau les rapports qui existent entre l’état élastique ou ordinaire de la matière et cet état extrême qu’elle affecte parfois, et qu’on appelle état plastique, pour les solides, état ébouleux, pour les masses inconsistantes. Enfin, il a donné les lois de l’équilibre-limite des terres, dans des cas beaucoup plus généraux qu’on ne l’avait fait jusqu’ici.... >

44. — Etude, en coordonnées polaires, de Véquilibre-limite (par déformations planes) d’une masse plastique ou pulvérulente comprimée. — Application à une masse annulaire -, à un massif compris entré deux plans rigides qui se coupent.

Ce travail, quoique très-distinct par son objet du mémoire précédent, a été imprimé dans le même tome de. l’Académie de Belgique, à la suite de ce mémoire , dont il est devenu le § X (p. 134 à 156). Il a pour but la théorie de l’équilibre-limite, dans des cas où le corps déformé supporte, suivant des sens divers , de fortes pressions, en comparaison desquelles son poids est négligeable. L’auteur y arrive à des résultats simples, soit quand les déformations sont symétriques tout autour d’un axe, soit quand elles sont pareillement orientées aux divers points de chaque droite émanée de l’origine, mais diversement d’une droite à l’autre. Il y établit, par exemple, et trèsfacilement , en tant que formules approximatives, les relations simples, si remarquables, par lesquelles M. Tresca a pu, dans ses expériences sur l’écoulement et le poinçonnage des blocs ductiles, représenter les pressions en jeu et les hauteurs des débouchures obtenues.

45. — Sur une manière simple de déterminer expérimentalement la résistance au glissement maximum, dans un solide ductile, homogène et isotrope.

Ce procédé consiste à étirer lentement une barre homogène de la matière considérée, et à diviser la traction employée à .cet effet par le double de la section minima de la barre, section mesurée, soit au moment où des allongements persistants commencent à se produire, soit même plus tard et jusqu’à la rupture.

46. — Sur la méthode de Macquom-Rankine, pour le calcul des poussées . qui exerce, à l'état ébouleux , un massif pesant sans cohésion, limité supérieurement par une surface h profil courbe indéfini.

L’auteur expose cette méthode ingénieuse, à coordonnées mixtes (l’une rectiligne, l’autre courbe), ainsi que l’emploi qu’en a fait l’illustre savant écossais en remplaçant une des équations du problème par une autre plus simple, mais purement hypothétique, qui rend l’intégration possible. Après avoir montré le sens concret des résultats trouvés par Rankine, il fait voir comment un procédé graphique d’intégration , que Rankine n’applique qu’à ses formules hypothétiques , pourrait tout aussi bien servir à intégrer les équations véritables de• l’équilibre-limite et même, parfois, s’étendre à des cas où le massif serait, non plus indéfini, mais soutenu d’un côté par un mur et, d’ailleurs, terminé en haut par une surface courbe quelconque , cas inabordable jusqu’à présent aux méthodes analytiques.

. 47. — Lois géométriques de la distribution des pressions dans un solide homogène et ductile , soubis à des déformations planes.

M. Boussinesq, adoptant pour coordonnées les deux paramètres caractéristiques des deux familles de lignes isostatiques (ou plutôt orthostatiques) produites dans le plan des déformations, exprime de suite, sous forme finie, les pressions en fonction de la dérivée de chacun de ces paramètres le long d’un chemin normal à la courbe correspondante; et, en appelant h , h, les deux dérivées ainsi définies, il montre que les lignes isostatiques ont pour équation M, = 1, ce qui signifie qu’elles découpent le plan en rectangles élémentaires équivalents. Il démontre d’ailleurs, d’une manière purement géométrique, le beau théorème de Lamé sur les surfaces orthostatiques , applicable à l’équilibre de masses quelconques dans tous les cas où ces surfaces existent.

48. — Equation aux dérivées partielles des vitesses, dans un solide homogène et ductile déformé parallèlement à un plan.

Quoique les vitesses des molécules d’un milieu à l’état ébouleux ou plas r tique doivent être, en général, plus facilement calculables pour les déformations planes que pour les autres, vu qu’on peut alors évaluer séparément les pressions et ne s’occuper qu'ensuite des mouvements , cependant, les

équations aux dérivées partielles qui les régissent sont assez complexes en coordonnées rectilignes. M. Bou'ssinesq montre que l’introduction des coordonnées courbes définies par les lignes isostatiques les ramène à une seule équation linéaire, admettant (pour un corps plastique) la forme de celle des cordes vibrantes, mais avec un coefficient variable. Il trouve aussi que les lignes isostatiques, dans un massif sans pesanteur à l’état ébouleux, ont l’équation différentielle A 1 -" 1 " t h\ + ’"“P = 1, où T désigne l’angle de frottement.

49. — Sur l’intégration de l'équation aux dérivées partielles des cylindres isostatiques , dans un solide homogène et ductile.

50. — Intégration de l'équation aux dérivées partielles des cylindres isostatiques , produits à l’intérieur d'un massif ébouleux soumis à de fortes pressions.

(Comptes-Rendus, 22 septembre 1813 ; t. LXXVII, p. 661.)

51. — Sur la distribution plane des pressions à l'intérieur des corps isotropes dans l'état d'équilibre-limite.

(Comptes-Rendus, 16 msrs 1814; t. LXXVIII, p. 151.)

52. — Intégration des équations aux dérivées partielles de cet équilibrelimite.

53. — Sur les modes d’équilibre-limite les plus simples que peut présenter un massif sam cohésion fortement comprimé.

54 . — Application de ces modes Æéquilibre-limite à Vétat ébouleux d'une masse pulvérulente, serrée entre deux plans solides qui se coupent.

Ces articles ont pour objet le calcul général des pressions, dans une masse en équilibre-limite éprouvant des déformations planes. Yu l’équation caractéristique et donnée de cet équilibre, l’état mécanique, en chaque point, est parfaitement défini, quant à sa nature-, par la pression moyenne (valeur moyenne de trois pressions principales exercées sur ce point), et, quant à son orientation, par la direction de la plus petite des pressions principales. L’auteur montre que les équations indéfinies du problème sont intégrables, en séries de termes, très-simples ayant la forme exponentielle ou trigonométrique, lorsqu'on prend pour fonctions inconnues les deux coordonnées x, y de chaque point du corps, et pour variables indépendantes deux quantités, caractérisant son état mécanique, et qui sont, l’une, l’angle que la pression principale la plus petite fait avec une direction fixe, l’autre, une certaine fonction de la pression moyenne exercée au même endroit. En d’autres termes, il faut, pour intégrer, renverser la question et se demander, non pas quel est l’état produit en chaque point, mais quel est le point où. se produit un état déterminé.