ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES

Équations différentielles linéaires transformailes en elles-mêmes. - Les fonctions périodiques d’une variable z sont des fonctions qui ne changent pas quand on y remplace z par z -H w, o) étant une certaine constante. On peut, plus généralement, imaginer des fonctions de s qui ne changent pas de valeur quand on fait sur z une opération déterminée f{z), ou même plusieurs opérations déterminées <p(i:), "K.*), ... ; on aura alors

/[f(0]=/0). /[<Kîi)]=/{a).

Telles sont les fonctions doublement périodiques pour lesquelles

les fonctions modulaires de M. Hermite et les fonctions fuchsiennes et kleinéennes de M. Poincaré pour lesquelles <{(z), i|'(z), ... sont certaines fonctions de la forme ■ ■ • J’ai donné (10 et 11 ) des exemples de fonc¬

tions/(z) vérifiant une relation de la forme /[<f(^)] =/(!!),

ç(z) désignant une fonction algébrique ou transcendante. M. Ilausenberger a publié une suite de Mémoires intéressants sur les fonctions/(z) vérifiant une ou plusieurs relations de la forme ci-dessus, en supposant que les opérations désignées par 9(z), ij/(z), ... soient algébriques; il a considéré des fonctions plus générales/(z) vérifiant des relations de la forme /[<f(D] = 'H/(z)],

9(z) et >|i(z) désignant des fonctions algébriques données. A un autre point de vue, des équations fonctionnelles de formes analogues dont les principales sont

ç(z) et i|i(z) désignant des fonctions données, algébriques ou transcendantes, ont été étudiées par Abel, par M. Schrœder, M. Korkine et enfin par M. Kœnigs (') à qui l’on doit d’importants théorèmes sur l’existence et l’expression générale des solutions holomorphes de certaines équations fonctionnelles. Ces théorèmes permettent d’étudier et d’intégrer des équations linéaires rentrant dans un type général que j’ai traité antérieurement (27).

Je considère des équations différentielles linéaires et homogènes définissant U en fonction de z et possédant la propriété suivante. 11 existe deux fonctions ip et iji telles qu’en faisant le changement de fonction et de va-

on ramène l’équation à la forme primitive où z serait remplacé par z' et u par u'. En d’autres termes, il existe un changement de fonction et de variable qui transforme l’équation en elle-tnême. J’admets de plus, avec M. Kœnigs, que la fonction ^(s) est uniforme dans l’intérieur d’une région R du plan et jouit de la propriété que, si z est intérieur à cette région, il en est de même du point z, = ç(z) ; alors, si l’on pose généralement Zi+i = î(.2,), les points de la suite z, z,, z^, .Zp sont tous à l’intérieur de la région R : ils doivent converger régulièrement vers une limite v qui n’est pas pour 9(2) un point singulier essentiel, et qui est un zéro de la fonction z — <f(z). Ces conditions étant remplies, je suppose que les coefficients de l’équation difiérentielle sont holomorphes ou méromorphes au point limite æ, hypothèse qui écarte les équations dont les coefficients sont des fonctions doublement périodiques, ou des fonctions fuchsiennes. Je montre (108 et 111) que toutes ces équations sont intégrables à l’aide de la fonction B(z) introduite par M. Kœnigs, et même qu’elles peuvent, par une substitution que j’indique, être ramenées à avoir leurs coefficients constants. Cette substitution est celle qu’Halphen a employée (Mémoire couronné. Savants étrangers, t. XXVIll) pour ramener l’équation à la forme qu’il nomme canonique ; l’application des théorèmes de M. Kœnigs montre que cette forme canonique est à coefficients constants.

rithmiquc et sont associées ou conjuguées par les relations (i). M. Picard, dans une Note récente {Comptes rendus, S avril 1891), a généralisé ce point de vue en considérant des systèmes de deux fonctions associées vérifiant des relations analogues à (i), avec des coefficients fonctions de x.

Je me suis proposé d’étudier un système analogue à (i), pour le potentiel à trois variables (124). Considérons quatre fonctions X, Y, Z, T de trois variables réelles x, y, z, vérifiant les relations

I dT àr^àZ^

dT dS. dY