FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES COMPLEXES

Fonctions de deux variables à quatre paires de périodes sans singularités essentielles à distance finie. — Les fonctions doublement périodiques d’une variable qui se comportent, à distance finie, comme une fractionrationnelle, peuvent toutes, ainsi qu’il est bien connu, s’exprimer par des combinaisons rationnelles de fonctions 0 d’une variable. Après la découverte des fonctions 0 de plusieurs variables faite par Gôpel et Rosenhain, on a dû se demander immédiatement si toute fonction de n variables avec 2 n groupes de périodes, se comportant à distance finie comme une fraction rationnelle, pourrait être exprimée i l’aide des fonctions 0 de n variables. Au premier abord il Semble que non, car les périodes d’une fonction 0 de n variables ne peuvent pas être choisies arbitrairement : elles sont liées par rela¬

tions bien connues. Cependant, dans une conversation qu’il eut avec M. Hermite en 1860, Riemann avait affirmé que ces relations doivent nécessairement exister entre les in groupes de périodes d’une fonction de n variables, tout au moins après une transformation d’un degré convenable effectuée sur ces périodes; mais il n’a donné aucune indication sur la méthode qui l’avait conduit à ce théorème d’une importance capitale. M. Weierstrass a, depuis, annoncé à quelques-uns de ses élèves qu’il possède une démonstration de ee théorème; mais il n’a ni publié ni indiqué la méthode dont il fait usage. Dans une Note présentée à l’Académie des Sciences le 3 décembre i883, MM. Poincaré et Picard, s’appuyant sur ce théorème de M. Weierstrass, que ( n -t-1) fonctions de n variables à in groupes de périodes sont liées par une relation algébrique, ont donné une démonstration du théorème de Riemann fondée sur la considération d’intégrales de différentielles totales et sur la théorie des intégrales abé-

En me bornant au cas le plus simple de deux variables indépendantes, je me suis proposé (105) et (112) de traiter directement la question. Par-

tant de l’expression d’une fonction de deux variables, sans singularités essentielles à distance finie, sous forme du quotient de deux fonctions entières, telle qu’elle résulte d’un théorème de M. Poincaré (' ), je montre que, si cette fonction admet quatre paires de périodes, on peut toujours les amener à vérifier la relation de Riemann et exprimer la fonction par le quotient de deux fonctions entières composées avec des fonctions 0 de deux variables. Je n’ai donc pas à m’appuyer sur l’existence d’une relation algébrique entre trois fonctions de deux variables à quatre paires de périodes ; la méthode suivie permet, au contraire, de démontrer l’existence de cette relation ; cette méthode est l’extension naturelle de celle que j’ai suivie antérieurement pour les fontions elliptiques (104).

Je commence par démontrer le théorème préliminaire suivant :

Étant données deux fonctions entières H(æ, y) et K(æ, y) de deux variables indépendantes vérifiant l’identité

H(*,7-I-i)-H(^, y) = V.(co + l,y)-K(x,y), il existe une troisième fonction entière G(æ, y') vérifiant les deux équa-

G{x + ,,y)-G{x,y) = Yl{x,y),

Q{x,y+r)-Glx,y) = K.{x,y).

Pour cela, je modifie la méthode que M. Guichard a donnée {Annales de l’École Normale, novembre 1887), pour démontrer un théorème analogue relativement aux fonctions d’une variable. Je forme, à l’aide d’une intégrale définie affectée de coupures des fonctions entières vérifiant les identités

et se comportant, quand n est très grand, de telle façon que, si est une série convergente quel que soit z, il en soit de même de

cette dernière série définira alors une fonction entière G(j) vérifiant la relation G(3-(-i) —G(z) = H(3). Il est évident que les fonctions ne diffèrent des polynômes de Bernoulli que par une fonction entière admettant la période i : c’est ce que je vérifie en me servant des expressions des polynômes de Bernoulli par des intégrales définies données par M. Hermite, et en montrant que ij^„ — <p„ est un polynôme en e’"'"' et La fonction une fois formée, la démonstration du théorème préliminaire est des plus faciles.

Voici maintenant comment se trouve résolue la question principale.

D’après un théorème de M. Poincaré (Acta malhematica, t. Il), une fonction analytique uniforme f(x, y) de deux variables x et y, se comportant comme une fraction rationnelle en tous les points à distance finie, peut s’écrire sous la forme

les fonctions <((x,y) et i/(x, y) étant entières et ne s’annulant simultanément qu’aux points où la fonction f(x, y) est indéterminée. Ce mode de représentation n’est pas unique ; on en obtient évidemment une infinité d’autres possédant les mêmes propriétés, en multipliant le numérateur et le dénominateur de f(x,'y) par une même fonction entière n’ayant pas de zéros, c’est-à-dire par une exponentielle dont l’exposant est une fonction entière, eS'i'a'i. Si l’on suppose que la fonction f(x, y) admette quatre groupes de périodes (aitf, o), (o, aicf), (a, P), (a', on arrive, en déterminant convenablement g(x,y), à mettre la fonction f(x, y) sous la forme du quotient de deux nouvelles fonctions entières y) et y) vérifiant les relations

f(a;-h2xi. y) y)

OÙ a,

b, a', b', n désignent des entiers

même temps, les

périodes étant liées par l’équation

Faisant alors un changement linéaire de variables, qui substitue aux variables æ ety d’autres variables X et Y, on amène les fonctions $ et à vérifier des relations de la forme

<r(X4-2;ti, Y) ^(X + sxi, Y)

«■(X, Y + îTti) ^(X, YH-2ni)

>r(X-HA,Y + B)<r(X + A.Y + B)

«■(X.Y) - VCX, Y)

et la relation précédente entre les périodes donne B = A'.

On retrouve donc les équations caractéristiques des fonctions 0, fournissant immédiatement ces fonctions par la méthode des coefficients indéterminés, et l’on arrive à ce théorème que la fonction f(x, y) est le quotient de deux fonctions entières composées avec des fonctions 0 do deux variables.

Ce théorème fondamental étant démontré, il devient facile d’établir l’existence d’une relation algébrique entre trois fonctions de deux variables, sans singularités essentielles, admettant quatre paires de périodes. Je n’insiste pas sur cette démonstration.

Fonctions de deux variables à deux paires de périodes sans singularités essentielles à distance finie. — Une fonction d’une variable à une période (o, sans points essentiels à distance finie, peut toujours être mise sous la forme du quotient de deux fonctions entières, sans zéros communs, admettant séparément la période w et pouvant, par suite, s’exprimer par la formule de Fourier. Il est naturel de se demander si une proposition analogue s’applique aux fonctions de deux variables. Tout d’abord, une fonction/(a7, y)

de deux variables admettant les deux paires de périodes ( 2itj, o) et (o, arti) et n’ayant pas de singularités essentielles à distance finie, peut toujours être mise sous la forme (107) et (M2).

9 et ij< désignant deux fonctions entières ne s’annulant simultanément qu’aux points d’indétermination de f(æ,y) et vérifiant les deux relations

Si cet entier n est nul, les fonctions entières 9 et i|/, admettant séparément la période 2ite par rapport à æ et y, sont données par la formule de Fourier. Si n est différent de zéro, il est aisé d’obtenir l’expression générale des fonctions 9 et i}»- Mais il est plus simple de remarquer que l’on peut, avec des fonctions 0 d’une variable, former une fonction entière 0„ (x, y) vérifiant les deux relations

de telle façon que, si l’on pose

les fonctions <[> et 'Ç' sont des fonctions entières admettant les deux paires depériodes(2Ttt, o)et(o, 211). On pourra donc mettre la fonction f{x,y) sous la forme

<I> et tî" étant des fonctions entières admettant séparément les deux paires de périodes et développables, par conséquent, par la série de Fourier. On arrive ainsi à une expression analogue à celle des fonctions d’une variable avec une période, avec cette différence que l’expression ci-dessus n’est pas irréductible, puisque le numérateur et le dénominateur sont divisibles par une même série entière 0„(æ, y) s’annulant à distance finie.

Fonctions de deux variables quadruplement périodiques de troisième espèce avec des singularités essentielles. — En suivant la classification employée par M. Hermite pour les fonctions doublement périodiques d’une variable, j’appelle fonction quadruplement périodique de troisième espèce une fonction uniforme de deux variables x el y qui se reproduit, multipliée par une exponentielle linéaire en x et y, quand on augmente les variables de chacune des quatre paires de périodes. Je suppose essentiellement que l’on ne puisse pas, en multipliant cette fonction par une exponentielle de la

la ramener à être'quadruplement périodique de première ou de seconde espèce, c’est-à-dire à se reproduire multipliée par l’unité ou par une constante quelconque, quand on ajoute aux variables chacune des quatre paires de périodes.

On sait, d’après un théorème énoncé par Riemann et démontré par M. Weierstrass, par MM. Picard et Poincaré et par moi-même (112), qu’une fonction quadruplement périodique de deux variables de première espèce qui n’a pas de singularités essentielles à distance finie, peut toujours être ramenée à avoir pour paires de périodes les quantités

(2vi,0), < 0 , (“iP). (»'. P').

vérifiant la relation

Si la fonction admet des singularités essentielles, les paires de périodes (a, |3) et (a', p') sont entièrement arbitraires. M. Picard a donné des exemples de fonctions de ce genre ('). H en est de même pour les fonctions quadruplement périodiques de deuxième espèce, comme je l’ai montré par des exemples (53). A cet égard, il y a, entre les fonctions quadruplement périodiques de deux variables de première et de deuxième espèce d’une part, et de troisième espèce d’autre part, cette différence remarquable que, même si une fonction de troisième espèce admet des singularités essentielles, on peut toujours ramener ses périodes à être

avec la relation de Riemann,

Je démontre ce théorème (M4) et je donne quelques exemples généraux de fonctions ou expressions de deux variables quadruplement périodiques de troisième espèce, en suivant une méthode analogue à celle qui sert à former l’élément simple dans la théorie des fonctions doublement périodiques de troisième espèce (71), ou en imitant ce que fait Halphen dans son Traité des fonctions elliptiques, t. I, p. 468.

Exemples de fonctions de plusieurs variables admettant un groupe de substitutions linéaires entières. — M. Fuchs a obtenu, par l’inversion des intégrales de certaines équations différentielles linéaires, des fonctions de deux variables indépendantes x el y qui ne changent pas de valeur quand on remplace xety par ax + by + c et a'x + b'y -+- c', a, b, c, a', b', c' désignant des constantes déterminées. Je forme directement, à l’aide de séries ou de produits infinis, des fonctions de cette nature n’ayant pas de singularités essentielles à distance finie.

J’indique d’abord (125) un exemple élémentaire, en composant avec des fonctions 0 une fonction ç(æ, y) qui vérifie les relations

Sitî, y)=z<fia:,y + siti) =^(x+2a,y + x) = <f(a:, j)

et qui admet, par suite, un groupe de substitutions linéaires entières. J’indique ensuite des produits infinis vérifiantles mêmes relations. Je m’occupe enfin (117) de fonctions de trois variables formées avec la fonction suivante, analogue à la fonction 0,

I somme nulle, ainsi que les constantes f„ — y.',