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qui présentent une certaine symétrie, en ce sens que la fonction Z, par exemple, est liée à X, - Y, ' - T comme T à Y, X, Z, etc. Si des trois re!ations(3) on tire qu’on calcule ensuite j etquon

forme la somme de ces expressions, on trouve identiquement zéro. On a un résultat aualogue pour X, Y, Z. De sorte que, en posant

- àx' dy« az-- ’

les équations (3) entraînent les quatre relations

(4) AX = o, aY = o, AZ = o, AT = o,

de même que les équations (i) entraînent les relations (2). Je démontre ( 118) que, dans le système (3), on peut choisir arbitrairement les deux fonctions Z et T, pourvu qu’elles vérifient les deux conditions

et obtenir ensuite les déterminations les plus générales des fonctions X et Y par des quadratures suivies de l’intégration de l’équation

définissant ç comme fonction de x et y, l’indice o signifiant que, dans le dernier terme, s est remplacé par une constante

Le système (3 ) est un cas particulier d’un système d'équations du même genre (124) où figurent quatre fonctions X, Y, Z, T de quatre variables a?, y, 5, qui vérifient chacune l’équation à quatre termes d*U d*ü d»U d‘U

Sur l’équation 5^ - ^ = o- - L’équation - ^ = o, qui se présente dans la théorie de la chaleur, a été l’ohjet d’un grand nombre de travaux. Intégrée par Fourier, Poisson, .4mpère('), elle a été étudiée en détail par Riemann dans son Ouvrage sur les équations aux dérivées partielles de la Physique mathématique (‘), et par Schlaefli, dans un Mémoire inséré au Tome 72 du Journal de Crelle. M. Jordan l’a traitée comme exemple dans le Tome III de son Cours d’Analyse (p. 887). M. Boussinesq a résumé les méthodes générales d’intégration propres à cette équation et aux autres équations de la Physique mathématique dans le Tome II de son Cours d'Analyse infinitésimale {Calcul intégral, compléments). Citons encore M™' Kowalevski (”) qui a appliqué à cette équation spéciale les méthodes de Cauchy, en montrant qu’il n’existe pas toujours une intégrale Z qui, poury = 0, se réduise à une fonction donnée de x ; par exemple, cette équation n’a pas d’intégrale qui se réduise à pour y = o.

M. Darboux (*) a rappelé cet exemple de M““ Kowalevski à propos d’une Note do M. Méray (‘) sur un fait de même nature. L’équation

constitue le type le plus important auquel on peut réduire les équations linéaires à coefficients constants

dans le cas parabolique — AG = o, comme on le verra dans un Mémoire de M. du Bois-Reymond {Journal de Crelle, t. 104). Le cas elliptique B^ — AC < o a été étudié par de nombreux auteurs, Lejeune- Dirichlet, Riemann, Schwarz, Weber ('). Plus récemment, M. Picard a consacré d’importants Mémoires à l’étude de ce cas, même dans l’hypothèse des coefficients variables (= ); il a montré que, si B“ — AC > o, l’intégrale n’est pas nécessairement analytique. M. du Bois-Reymond s’est occupé, dans le Mémoire cité {Crelle, t. 104), du cas hyperbolique IP — AC > o en employant principalement la méthode de Riemann fondée sur la considération de l’équation adjointe.

J’ai étudié (M3) cette équation au point de vue de la Physique mathématique, en supposant x, y, z réels et en m’inspirant des méthodes de Riemann. Je traite d’abord les questions suivantes ;

ransformalions de la formt x'=f(x,y), /=<Kir,

qui ramènent l’équation

On trouve que la relation entre x, y e\.x', y définit une transformation homographique du plan qui remplace ici l’inversion de Thomson pour le potentiel.

2° Trouver tous les polynômes vérifiant l’équation. — Ces polynômes s’expriment simplement à l’aide des polynômes à une variable que M. Hermite (’) a déduits de la différentiation de l’exponentielle e~‘'.

Me servant ensuite d’une formule analogue à la formule de Green déduite de la notion d’équation adjointe due à Riemann, j’établis une importante formule qui me permet de démontrer le théorème suivant :

Une fonction uniforme z= f{x:,y) vérifiant l’équation Sz = o, exis-

tant dans toute la partie du plan située au-dessous d’une certaine parallèle à l’axe Oæ, y £ i, et restant finie, ainsi que sa dérivée par rapport à X, dans cette partie du plan, pour toutes les valeurs finies ou infinies de X ety, se réduit à une constante.

On en conclut que l’équation = o ne peut pas admettre de solution uniforme dans tout le plan, n’ayant aucun point singulier à l’infini, et ayant un seul point singulier x — a,y = hh. distance finie ; car une telle fonction serait constante pour toutes les valeurs de y inférieures à h. Il y a donc là une différence remarquable avec les équations linéaires dans le cas elliptique qui admettent des intégrales avec un seul point singulier; par

Enfin, je cherche à rendre compte de ce fait que la plupart des solutions simples de l’équation lz = o admettent des lignes de discontinuité parallèles à O®.

Certains des théorèmes établis dans ce Mémoire s’interprètent d’une façon simple dans la théorie de la chaleur : je les reporte à la page 102, Théorie de la chaleur.