CALCUL APPROCHÉ DES INTÉGRALES DOUBLES

Les polynômes à deux variables analogues aux polynômes de Legendre et aux polynômes cos(«arccosæ)ontété découverts par M. Hermite (Journal de Crelle, t. 64, et Comptes rendus, t. LX), dont les indications ont conduit Didon à des résultats intéressants, d’une grande généralité, relatifs à des polynômes U,„,„(æ,y) de degrés m + n tels que l’on ait

y y’K(^,y)U,„,,.Up,,vd.v<<y = o,

tant que (/« — -i- (n — v)’ n’est pas nul, K(æ, y) étant une fonction

donnée et le champ d’intégration ayant une forme déterminée. Certains de ces polynômes peuvent être rattaches aux séries hypergeometriques do deux variables ( 16 et 103). Les polynômes de Legendreinterviennent dans la méthode de Gauss pour le calcul approché des intégrales définies simples et les polynômes plus généraux P„(æ) caractérisés par les conditions

dans le calcul approché des intégrales de la forme J K(a:)f(s>)ds:,

où K(æ) est une fonction donnée, comme l’ont montré MM. Christoflél, Tchebicheffet Heine.

Il y a lieu de penser que les polynômes de M. Hermlte et les polynômes de Didon interviendront de même dans le calcul approché des intégrales doubles de la forme

ffV,(x,y)f(x,y-)dxdy,

K. étant une fonction déterminée servant à la définition des polynômes et le champ d’intégration ayant une forme donnée.

Je me suis propose (H5) de mettre ce fait en évidence dans des cas simples pouvant servir de types à une théorie générale. J’ai tout d’ahord indiqué quelques propriétés nouvelles des polynômes de M. Hermite généralisés par Didon, entre autres une liaison très simple entre une certaine forme quadratique et la notion de polynômes associés introduite par M. Hermite. Puis, arrivant à l’objet principal du Mémoire, je pose le problème comme il suit. Soient K une fonction iexely gardant un signe constant dans le champ 4’intcgration et f(x, y) une fonction développable, dans le champ d’intégration, en une série de puissances entières et posilives de x et y \ pour évaluer l’intégrale double

l=ff }if{x,y)dxdy,

je prends un polynôme cp(æ, y) de degré p enx et y, contenant par conséquent un nombre

de coefficients, et je détermine ces coefficients par des éqnations linéaires en exprimant que le polynôme ip prend la même valenr que la fonction f(x,y) en n points {x„y,), {x^, y^), {x„,y^) situés dans le champ

d’intégration et n’appartenant pas à une courbe d’ordre p : la valeur approchée de l’intégrale est alors

i=JJv^f(x,y)dxdj.

Comme le fait Gauss dans sa méthode d’évaluation approchée des intégrales simples, il s’agit maintenant de déterminer les points (*,,/,), • • •> de manière à obtenir la pins grande approximation

possible, au sens de Ganss. Je forme les éqnations qui déterminent ces points. Sans entrer dans des détails sur le cas général, je me borne ici à indiquer deux résultats particulièrement simples.

Tout d’abord, le cas le plus simple de tous est le cas de/) = o, n = i. On substitue alors à la fonction f{x,y) une constante /(æ,,/,) égale à la valeur que prend/(æ,y) en nn point (æ,,/,) ponr le moment inconnn ; il s’agit de déterminer ce point de telle façon que l’errenr commise soit la moindre possible. On trouve que le point (x„y, ) doit être choisi, au centre

de gravité du champ d’intégration, la densité en chaque point étant égale à K(Æ;,y). Si l’on forme le polynôme le plus général du premier degré P, s’annulant pour x — Xt,y—y„ on démontre que ce polynôme possède la propriété exprimée par l’équation

JJ KPdxdy = o-,

c’est donc le polynôme le plus général du premier degré remplissant les conditions des polynômes de Didon; en l’égalant à zéro, on obtient une droite arbitraire passant par le point fixe cherché (Xi,y ,).

Voici ensuite un second exemple simple. Supposons que le champ d’intégration soit un cercle de centre O et de rayon i et que K = i. Prenons trois points (x,,y,), (x-^jy^), (x^jy,) sur un cercle concentrique, et remplaçons la fonction f{x,y') par un polynôme <f(x,y) du premier degré devenant égal à f{oc,y) aux trois points. Pour que l’erreur commise soit la plus petite possible, il faut que les points (æ,,7, ), {x,,y^), (æ,,7,) soient les sommets d’un triangle équilatéral quelconque inscrit dans le cercle de centre O et de rayon — ,