FONCTIONS ELLIPTIQUES

Mes travaux sur les fonctions elliptiques sont purement théoriques, sauf une application à un problème de la théorie des déblais et remblais (1), et une Note sur la chaînette sphérique (83), dans laquelle je résous, à l’aide de ces fonctions, le problème de l’équilibre d’une chaîne homogène pesante sur une sphère.

Sur un problème d’interpolation relatif aux fonctions elliptiques. - La formule d’interpolation de Lagrange donne immédiatement la solution de

Former une fraction rationnelle de degré n dont les infinis, au nombre de n, sont connus et qui prend desvaleurs données pour (n h- i) valeurs particulières attribuées à la variable.

Je me suis proposé (85) de résoudre une question analogue qui peut s’é-

e d’ordre n dont les infinis, situés dans •c, sont connus et qui prend des valeurs es à la variable.

Ce problème se résout par une formule entièrement semblable à celle de Lagrange, avec cette différence que, dans un cas particulier, le problème est impossible, ou indéterminé.

linéaires (82); elle fournit directement l’expression du multiplicateur et du module en produits infinis, sans que l’on soit obligé de passer par l’intermédiaire de la fonction 9(5') de Jacobi.

Sur les fonctions doublement périodiques de troisième espèce. On sait

que les fonctions elliptiques sont des fonctions d’une variable z, qui se comportent, pour toutes les valeurs finies de la variable, comme des fonctions rationnelles, et qui ne changent pas de valeur quand on ajoute à la variable l’une ou l’autre des deux périodes oi et m'. M. Hermite donne le nom de fonctions doublement périodiques de seconde espèce à des fonctions qui se comportent, pour les valeurs finies de la variable, comme des fonctions rationnelles et qui se reproduisent, multipliées par des facteurs constants, quand on augmente la variable de l’une ou l’autre des deux périodes co et 01'. Ces fonctions de seconde espèce se sont présentées d’abord dans la solution, que Jacobi a donnée, du problème du mouvement d’un corps solide, mobile autour d’un point fixe, qui n’est sollicité par aucune force accélératrice. De nombreuses et importantes applications de ces fonctions ont été indiquées par M. Hermite, dans son Ouvrage intitulé : Sur quelques applications des fonctions elliptiques (Gauthier-Villars, i885); nous citerons, entre autres, l’intégration de l’équation de Lamé, que M. Picard a rattachée à une théorie générale, en montrant que l’on peut, à l’aide des fonctions de seconde espèce, exprimer l’intégrale générale d’une équation différentielle linéaire à coefficients doublement périodiques, lorsque cette intégrale est uniforme. Il existe enfin des fonctions que M. Hermite appelle fonctions doublement périodiques de troisième espèce : ces fonctions se comportent comme des fractions rationnelles pour toutes les valeurs finies de la variable z, et se reproduisent, multipliées par des exponentielles du premier degré par rapport à z, quand on augmente z de l’une ou de l’autre des périodes <0 et O)'.

On peut exprimer toutes ces fonctions à l’aide de la fonction 0(z) de Jacobi, ou o'(z) de M. Weierstrass : les fonctions de première et seconde espèce, par une exponentielle du premier degré en z multipliée par le quotient de deux produits de fonctions 0 contenant autant de facteurs au numérateur qu’au dénominateur; les fonctions de troisième espèce, par une exponentielle du second degré en z multipliée par le quotient de deux produits de fonctions 0 ne contenant pas le même nombre de facteurs au numérateur qu’au dénominateur; les fonctions de troisième espèce se divisent donc en deux groupes : 1” celles où il existe plus de fonctions 0 au dénomi-

nateur qu’au numérateur; 2° celles où, au contraire, il existe plus de fonctions 0 au numérateur.

Pour les fonctions doublement périodiques de première et deuxième espèce, M. Hermite a indiqué un autre mode d’expression, mettant en évidence les points où ces fonctions deviennent infinies et la façon dont elles y deviennent infinies; la formule de M. Hermite, appelée formule de décomposition en éléments simples, est analogue à la formule de décomposition des fractions rationnelles en fractions simples et est, comme cette dernière formule, de la plus haute importance pour l’intégration et le développement en série des fonctions de première et seconde espèce.

Pour les fonctions doublement périodiques de troisième espèce, il n’existait pas de formule analogue : la difficulté était de trouver la nouvelle fonction devant servir d’élément de décomposition. C’est cette fonction que j’ai réussi à former (71); ici, je demande la permission de citer, dans le Traité des fonctions elliptiques du regretté Halphen, un passage auquel le sentiment de vive sympathie que j’ai toujours eu pour l’auteur me fait attacher le plus grand prix ; « Au Chapitre XIH, nous avons trouvé les développe- » ments de plusieurs fonctions de troisième espèce, les inverses des fonc- » tiens rf, les inverses de leurs produits deux à deux. Ces développements » et beaucoup d’autres analogues avaient été formés par M. Biehler dans » une thèse remarquable, dont on doit recommander l’étude ('); mais » c’est M. Appell qui, en créant le nouvel élément simple, a conduit cette » partie de la théorie au plus haut degré de perfection. » Cet élément simple est une série dont la composition a quelque ressemblance avec celle des fonctions 6. Soient n un entier positif et ç la constante e~, l’élément simple est la fonction de deux variables indépendantes z et u, définie par la

qui devient infinie toutes les fois que la différence « - « est de la forme pai-hp'w' (p et p' entiers). A l’aide de cet élément, on peut écrire toute fonction doublement périodique de troisième espèce, sous forme d’une somme de termes ne devenant chacun infini qu’en un point du parallélo-

gramme des périodes et d’une partie entière, s’il y a lieu. Soit une fonction de troisième espèce F(z) ramenée, ce qui est toujours possible, à vérifier deux relations de la forme

F(3-i-<o) = F(xi), F(ï + «,') = r^'F(j), où m désigne un entier non nul, positif ou négatif.

Si m est positif, la fonction F(z) a dans un parallélogramme des périodes m zéros de plus que d’infinis ; en particulier, elle peut n’avoir que m zéros et pas d’infini. Toute fonction de cette espèce, ayant m zéros et pas d’infini, est une fonction linéaire et homogène de m fonctions

linéairement indépendantes. Si la fonction F(z) devient infinie du premier ordre en p points a,b,.. ., /, avec les résidus correspondants A, B, ..., L, on peut l’écrire sous la forme suivante

F(z) = -Ax,„(<i,z)-Bx,„(è,ii)-...-Lx,„(;.z) + GXi:),

G(z) désignant une fonction entière vérifiant les mêmes relations que F(z), c’est-à-dire une fonction de la forme

où les X sont des constantes. Les résidus A, B,..., L sont entièrement indépendants des pôles; quant aux coefficients X„, X,, ..., X,„,, on arrive àles calculer (74), soit par la méthode des coefficients indéterminés, soit par la considération de l’intégrale

prise sur le contour d’un parallélogramme élémentaire.

Si, au contraire, l’entier appelé m est négatif, m= — p, la fonction admet, dans un parallélogramme des périodes, p infinis de plus que de zéros : supposons encore qu’elle devienne infinie du premier ordre aux points a, b,..., l avec les résidus A, B, ..., L, on aura

F(2)=Axh(z, a)-l-Bx,i(s, 0;

les résidus A, B, ..., L ne sont plus indépendants des pôles : ils sont liés aux pôles par p relations

t.é't(«)-l-Bg-*(6)-i-...,-i-L^'*(f) = o, (-t = o, ..P-i).

Ces [1 relations sont d’ailleurs suffisantes pour rendre le second membre de la dernière formule de décomposition doublement périodique de troisième degré : c’est ce que l’on vérifie, en cherchant l’effet de l’addition de la seconde période co' au premier argument de x»(^) «)•

Ainsi, et c’est là une circonstance très remarquable, la même fonction X„(2, u) sert d’élément de décomposition dans les deux cas ; dans l’un des cas, Z est la variable et u un paramètre qui coïncide successivement avec les différents pôles; dans l’autre, c’est le premier argument ü qui sert de paramètre et le second u de variable.

Ces résultats donnent immédiatement les développements des fonctions doublement périodiques de troisième espèce en séries trigonométriques (72). En effet, pour développer une quelconque de ces fonctions en série, il suffira de connaître le développement de l’élément simple. J’indique, en conséquence, des développements en séries des quatre fonctions

On se trouve alors en possession de méthodes et de formules générales permettant de trouver facilement les développements en séries des fonctions doublement périodiques de troisième espèce, et comprenant, comme cas particuliers, les formules, si précieuses pour l’Arithmétique, que M. Biehler a établies dans son excellente Thèse, en suivant la voie ouverte par M. Hermite.Quelques-unes dessériesquej’ai obtenues de cette façon ont été reproduites par M. Hermite dans un Mémoire inséré au Tome C du Journal de Crelle. Cette méthode de développements en série permet de démontrer une loi générale énoncée par M. Hermite et vérifiée par M. Biehler sur un grand nombre d’exemples, loi qui donne une propriété arithmétique extrêmement remarquable des coefficients des développements en série, des fonctions de troisième espèce, suivant les puissances de q ;

Si Von développe une fonction doublement périodique de troisième espèce en une série ordonnée par rapport aux puissances de q, on voit apparaître dans les sinus et cosinus qui forment le coefficient de q' les combinaisons des diviseurs conjugués 8 er S'tfe N; le signe +

convenant au cas où. il y a au numérateur m fonctions 0 de plus qu’au dénominateur, le signe - , au cas où il y a au déno minuteur m fonctions 0 de plus qu’au numérateur.

L’élément simple z), considéré comme une (onction du second argument, vérifie une équation différentielle linéaire avec second membre dont les coefficients sont composés avec des fonctions 0 et leurs dérivées, et dont l’intégrale générale s’exprime à l’aide de fonctions 0 et de la fonction Xn(<*i 2)- ® (^4) une suite d’équations linéaires inté¬

grables à l’aide delà fonction x,(«, ^), avec un paramètre arbitraire a. Par exemple, en supposant n = i, on trouve que z) vérifie une équation différentielle du premier ordre ayant pour intégrale générale