FONCTIONS ET INTÉGRALES ABÉLIENNES

En 1885, le JournaUcto mathematica, publié à Stockholm par M. Mitta:

» et de cosinus, telles que les donne la formule de Fourier, ont, à bien des » points de vue, une grande importance en Analyse. Elles ont été employées » avec succès et jouent un rôle important dans beaucoup d’applications du » calcul à la Physique et à l’Astronomie. Elles ont conduit Jacobi aux for- » mules si remarquables du § 50 des Fundamenta, où le grand géomètre, » allant au delà des propositions connues de l’Arithmétique, obtient le

» solide, autour d’un point fixe, lorsqu’il n’y a pas de forces accélératrices, •1 a été l’origine d’une notion analytique importante. Les expressions de l’il- » lustre auteur présentent, en efi'et, dans le cas le plus simple, l’exemple de » fonctions qui se reproduisent multipliées par des constantes lorsqu’on aug- » mente la variable de l’une ou l’autre des périodes. On a reconnu qu’elles » constituent un nouveau genre de fonctions, plus générales que les fonc- » tiens doublement périodiques, dont le rôle comme élément analytique » propre se montre dans beaucoup de questions importantes. Elles s’offrent » en particulier dans la rotation d’un corps grave de révolution suspendu par » un point de son axe, dans la recherche de la figure de l’élastique gauche, » dans le mouvement d’un corps solide dans un liquide indéfini, lorsqu’il » n’y a pas de forces accélératrices, etc— Enfin elles donnent une mé-

dans un Mémoire étendu ; dans ce Mémoire, j’avais indiqué la première forme de l’expression générale de ces fonctions et j’avais également donné une formule de décomposition en éléments simples; mais cette formule présentait cet inconvénient que l’élément simple devenait infini, non pas en un seul mais en p points; pour arriver à une formule plus parfaite, j’ai dû avoir recours à la notion S intégrales de fondions à multiplicateurs, de même que, pour décomposer en éléments simples une fonction algébrique par la formule de Riemann-Roch, on est obligé de se servir S intégrales de fonctions algébriques. Je démontre ensuite plusieurs théorèmes, parmi lesquels je cite le suivant qui est une généralisation de la proposition célèbre d’Abel, sur les intégrales de différentielles algébriques : La somme des valeurs que prend une intégrale abélienne de première espèce aux zéros d’une fonction à multiplicateurs est égale à la somme des valeurs qui correspondent aux infinis de la même fonction, augmentée d’une constante dépendant uniquement des multiplicateurs. Ce théorème conduit à des conséquences importantes sur le nombre des constantes arbitraires qui figurent dans l’expression d’une fonction ayant des multiplicateurs et des pôles donnés. Je prouve après cela que, comme il arrive déjà pour les fonctions algébriques de genre supérieur à zéro, les résidus et les pôles d’une fonction à multiplicateurs ne sont pas indépendants les uns des autres ; il existe en général (p — i) relations, entre les pôles et les résidus correspondants d’une fonction à multiplicateurs, et p dans un cas spécial, comprenant en particulier celui des fonctions algébriques ; ce cas spécial intéressant se présente lorsqu’il existe une fonction sans zéros ni infinis, admettant les multiplicateurs donnés. C’est ainsi, par exemple, que, pour les fonctions doublement périodiques de seconde espèce d’une variable u, (p = i), il n’y a en général aucune relation entre les pôles et les résidus, tandis qu’il en existe une lorsque les multiplicateurs sont ceux d'une exponentielle de,la form e e““, où a désigne une constante. Je me suis écarté un instant du Rapport pour pouvoir citer les résultats que j’avais obtenus antérieurement au concours et que la Commission ne pouvait pas attribuer à l’auteur anonyme du Mémoire qu’elle avait à juger. Pour continuer cette analyse, je ne puis mieux faire que de citer de nouveau le Rapport ;

« in. Les intégrales de fonctions à multiplicateurs font ensuite le sujet » d’une étude approfondie. L’Auteur obtient, à leur égard, un ensemble » de propositions qui correspondent exactement aux théorèmes célèbres de >’ Riemann sur les intégrales abéliennes. Nous indiquerons, comme exemple.

» seconde espèce. Il nous faut maintenant revenir à la question principale » que l’auteur a eue en vue en entreprenant ces belles et profondes recher- » ches où il a montré le plus remarquable talent d’invention. Son but était » d’obtenir les intégrales définies qui représentent les coefficients des déve- » loppements, par la formule de Fourier, des fonctions elliptiques et des » fonctions abéliennes de deux variables à quatre paires de périodes simulta- » nées. Un changement de variables le conduit d’abord à des fonctions à » multiplicateurs, et, pour le cas des sinus d’amplitude qu’il traite en pre- » mier lieu, ses principes généraux lui permettent d’obtenir les coefficients )) du développement avec autant de simplicité que d’élégance. En appli- » quant ensuite la même méthode aux transcendantes de Gopel et de Rosen- » hain, il trouve les coefficients sous la forme d’une fonction rationnelle des » constantes p, ÿ, r qui figurent dans les fonctions 0 à deux variables, mul- » tipliée par une intégrale définie où entrent deux entiers indéterminés. » C’est, pour la théorie des fonctions abéliennes, un résultat du plus haut » intérêt : il donne la solution d’une question restée jusqu’ici inabordable, » sous une forme qui permettra d’en poursuivre les conséquences ; il ouvre » la voie pour l’élude approfondie des développements, par la formule de » Fourier, des fonctions abéliennes et pour la formation des développements » de ces fonctions procédant suivant les puissances de p,q,r. On peut donc » attendre de voir ainsi se rétablir, autant que le comporte la nature des » choses, l’analogie avec les fonctions elliptiques, dans ce point d’une impor- » tance capitale où elles se lient aux propriétés des nombres. »

Je me permets de placer ici une observation, faisant ressortir la différence de nature analytique entre les développements des fonctions elliptiques par la formule de Fourier et ceux que j ’ai trouvés pour les fonctions abéhennes. On sait que l’on ne peut pas faire l’inversion d’une intégrale ultra-elliptique de première espèce, comme l’on fait celle d’une intégrale elliptique ; mais on peut chercher à faire cette inversion, en restant dans le domaine des variables réelles et appliquant les idées que M. Weierstrass a développées dans un Mémoire Ueber eine Galtung reell periodischer Functionen ( ' ) : ce nouveau problème, d’une grande importance au point de vue des applications, se ramène à celui que j’ai traité. Dans les dernières pages du Mémoire, je montre que la méthode suivie s’applique aussi aux développements, en séries trigonométriques, des fonctions hyperelliptiques de genre quel-

conque et même de certaines fonctions irrationnelles, et que le mode de raisonnement, employé pour l’étude des intégrales de fonctions à multiplicateurs, peut également donner des résultats intéressants pour l’étude de l’intégrale générale d’une classe étendue d’équations différentielles linéaires à coefficients algébriques. Voici enfin la conclusion du Rapport :

« Nous pensons, en résumé, que le travail dont nous venons de faire l’ex- » posé est l’œuvre d’un géomètre de premier ordre, et qu’il sera placé au » nombre des plus importantes productions mathématiques qui aient appelé » dans ces dernières années l’attention des analystes. »

Les fonctions à multiplicateurs constituent, comme le montre l’analyse précédente, des fonctions analogues aux fonctions doublement périodiques de seconde espèce. Je me suis proposé d’étudier de même (7f) certaines fonctions d’un point analytique, qui peuvent être envisagées comme analogues aux fonctions doublement périodiques de troisième espèce. Si l’on considère une courbe algébrique de genre p et si l’on appelle «i'' (x, y) (t = 1,2,...,p) les P intégrales abéliennes normales de première espèce correspondantes, les fonctions considérées sont des fonctions du point analytique (x, y) qui ne changent pas, quand ce point décrit un cycle normal de rang impair, et qui se reproduisent multipliées par

quand le point {x,y) décrit le cycle normal de rang ai, m désignant un entier positif ou négatif. Supposons encore que ces fonctions n’aient que des pôles sur la surface de Riemann ; alors : i “ si m est positif, elles ont sur cette surface un nombre de zéros dépassant de mp celui des infinis ; a” si au contraire m est négatif et égal à — p, elles ont pp infinis de plus que de zéros. Les fonctions de la première sorte senties inverses de celles de la seconde. Je donne l’expression générale de ces fonctions par une fraction rationnelle en xe\,y, multipliée par des fonctions 0 où l’on a remplacé les variables par les intégrales abéliennes correspondantes. Quand m est positif, les résidus et les pôles sont indépendants les uns des autres ; quand m est négatif, il y a des relations nécessaires entre les pôles et les résidus correspondants.

^ Sur des cas de réduction des fonctions e de plusieurs variables à des fonctions e d un moindre nombre de variables. — MM. Picard et Poincaré se sont occupés de la réduction des intégrales abéliennes à des intégrales elliptiques et, d’une manière générale, de la réduction des intégrales abéliennes d’un genre p à

celles d’un genre moindre. Lorsque celte réduction a lieu, des circonstances particulières se présentent pour les fonctions 0 correspondantes. Je me suis occupé d’abord (29) des intégrales abéliennes du premier genre et des fonetions 0 correspondantes, et j’ai indiqué une formule de réduction-dé la fonction© {x, y) ii des fonctions 0 d’une seule variable; puis, passant au cas général (80.), j!ai obtenu d’une façon analogue des.formulcs de rcductiçn pour.les fonctions 0 de plusieurs variables. .

. Extension d’un .théorème de Liouville aux fonctions abéliennes. — Liouville a démontré.le théorème,suivant sur les fonctions doublement périodiques :

SI l'on considère les zéros et les infinis d'une fonction elliptique qui sont 'situés dans un même parallélogramme élémentaire, la sommé dés zéros ne diffère de celle des infinis que par des multiples des périodes.

.Comme ce théorème se rattache au théorème d’Abel, on eslconduitàpenserque l’on peut déduire, du théorème d’Abel, une proposition sur les fonctions abéliennes,analogue à celle de Liouville sur les fonctions elliptiques. C’est ce que j’ai roussi à faire (33) pour le système des fonctions abéliennes qui expriment les sommes des puissances semblables des limites supérieures des intégrales abéliennes, dans les équations d’inversion de Jacobi.

Sur les fonctions abéliennes (48). — Dans une Lettre à M. Hermite (' ), Jacobi démontre que les fonctions de deux variables à quatre paires de périodes qui résultent de l’inversion des intégrales ultra-elliptiques sont des fonctions algébriques de fonctions d’une variable. Depuis il n’a été fait, à ma connaissance, aucune recherche sur le mécanisme par lequel se manifeste, dans ce mode d’expression, la quadruple périodicité des fonctions ultra-elliptiques. D’après M. Weierstrass, toute fonction méromorphe de deux variables x et y, à quatre paires de périodes, peut s’exprimer rationnellement à l’aide de trois fonctions de même nature, liées par une équation algébrique irréductible. Ces fonctions sont des fonctions rationnelles de six quantités X,, Xj, X„ Y,, Y., Y, dont les trois premières dépendent de x seul et sont liées par une relation algébrique, les trois dernières dey seul et sont liées par la même relation; ces fonctions rationnelles ne changent pas quand on fait sur X,, X,, X, une certaine substitution rationnelle et qu’on opère de même sur Y,, Yj, Yj. On est ainsi conduit à envisager les fonc-

lions abéliennes à un point de vue algébrique sur lequel je me propose de revenir plus tard.

Sur l’inversion des intégrales abéliennes. — Dans leur Théorie der Abelschen Functionen, MM. Clebsch et Gordan généralisent le problème de l’inversion, en intégrant un système d’équations aux dérivées partielles dans les premiers membres desquelles entrent les intégrales abéliennes de première espèce et des intégrales normales de troisième espèce; ils indiquent une méthode pour passer, par continuité, de ce cas, à celui où certaines intégrales de troisième espèce sont remplacées par des intégrales de seconde espèce. Des exemples de l’intégration d’un tel système avaient été donnés auparavant par Rosenhain ('), puis par Clebsch, à l’occasion de ses recherches sur les courbes des genres o et i. Enfin M. Elliot (-) a intégré un système d’équations où figurent les intégrales do première espèce, avec des intégrales normales de deuxième et troisième espèce. Il restait donc à envisager des systèmes d’équations contenant, en outre, les dérivées d’ordre quelconque des intégrales de deuxième espèce par rapport au paramètre. L’étude de ces systèmes m’a conduit au théorème général suivant (44) ;

Soient X et y deux variables liées par une relation algébrique et ?i (®jy) a.ne fonction rationnelle quelconque de X et y \ il existe toujours un certain nombre (p — i) d’autres fonctions rationnelles de x et y ï«(ai,r), .... fn{x,ï)

possédant la propriété suivante : le système d’équations différentielles

+ + . . .+ «)t(x„yr,) dx„ = du, (l = 1,2. n)

définit les n points analytiques

en fonction de U„ U, nelle symétrique de .

de telle façon que toute fonction rationits soit uniforme en u,, u^, ..., u„.

J étudié spécialement les cas où le genre de la relation qui lia xely est O ou I ; la méthode d’intégration employée dans le cas général, où le genre est quelconque, est une généralisation de la méthode de Clebsch; elle est

différente de celle de M. Elliot. Il serait trop long de reproduire ici les théorèmes particuliers que j’obtiens (64) pour les fonctions rationnelles et les fonctions elliptiques, et qui sont intéressants comme pouvant faire pénétrer la notion du problème d’inversion de Jacobi dans un enseignement élémentaire.

Sur des expressions triplement ou quadruplement périodiques. - Les fonctions abéliennes de genre deux sont des fonctions de deux variables, avec quatre paires de périodes simultanées, n’admettant pas de singularité essentielle à distance finie ; elles se réduisent, dans des cas limites, à des fonctions de deux variables à trois paires de périodes, dont le premier exemple a été donné par Rosenham dans son Mémoire couronné. La question qui se présente naturellement à l’esprit est d’étudier les expressions les plus simples triplement ou quadruplement périodiques, avec des singularités essentielles à distance finie.

Un premier procédé pour'former de ces expressions est le suivant (15) : Soient è et p deux constantes données, m un entier quelconque, a,, «2,... a„\ a,, a.,... a„ des constantes assujetties à la condition

et soit, d’autre part,

la fonction 0,[étant formée avec les périodes m etto'. Si l’on désigne par/(y) une fonction dey admettant la période ft, la fonction

■l (ir, r ) = / [mj + (^)]

est une fonction uniforme de x ety admettant trois paires de périodes conjuguées, à savoir pour x les périodes w, o et poury les périodes correspondantes o, —. b. Dans le cas particulier où /(y) est une fonction

rationnelle de e~, la fonction <i^{x,y) est de la nature de celles qui ont été considérées nar Rosenhain : entre trois de ces fonctions il existe une re¬

lation algébrique; il en existe une, en particulier, entre ij<, car les

dérivées partielles de sont alors des fonctions de même nature que ij/. On peut par un procédé analogue former des expressions à quatre paires de périodes.

iUne autre façon de former des expressions quadruplement périodiques consiste à se servir de séries infinies et a imiter ce que l’on fait pour les fonctions elliptiques, quand on représente ces fonctions par des séries de termes simplement.périodiques. C’est ce que j’avais réussi à faire en me proposant de publier une étude complète sur ce sujet, quand une .Note de M. Picard {Comptes rendus, i8 mars 1889) sur cette meme question m’obligea à publier, dans la séance suivante (Comptes rendus, 2S mars 1889), les principaux résultats qùe j’avais obtenus (5'3), et que je vais rapidement résumer. Considérant line sérié dont le teriné général est

U (z, <) désignant Une fonction rationnelle dé s et t, a, 6, a, |3, y, 8 des constantes, etmetradesehtiersvariant de —coà H-co,je remarque que, si cette série est convergente, elle définit une expression uniforme en æ et y admettant les paires de périodes (2 n i, o), (o, 2 n 1) et se reproduisant multipliée par le facteur a ou le facteur b quand on augmente os ety de la paire de périodes («, y) ou (P, S). Ori obtient, de celte façon, des séries analogues à celles que M. Hermite prend conime point de départ de la théorie des fonctions doublement périodiques de deuxième espèce ('). En supposant les constantes a et b égales à l’unité, la série définit une expression quadruplement périodique. On peut se proposer do former, de la même façon, des expressions quadruplement périodiques de troisième espèce, c’est-à-dire des expressions se reproduisant multipliées par une exponentielle, dont l’exposant est une fonction .linéaire de x et y, quai lid on augmente ces variables d’une paire de périodes. Je montréquo, dans l’hypothèse^ = y, on obtient des expressions de celte nature en multipliant le terme général S,„„ de la série employée précédemment-par le terme général d’une série 0 de deux variables X ety construite avec les groupes de périodes (a, p) et(f. S). D’une façon, générale, Tétude des fonctions uniformes quadruplement périodiques de troisième espèce présente des particularités intéressantes; ces fonctions sont caractérisées par un certain nombre entier : si ce nombre entier est nul, on peut, par une substitution linéaire effectuée sur les variables x et ramener leurs paires de périodes à être (2^ f, 0), (o, 21:(«> P). comme dans les fonctions 0.

INTÉGRALES EULÉRIENNES.

SÉRIES HYPERGÉOMÉTRIQUES. - POLYNOMES.

Intégrales eulériennes et séries hypergéométriques d’une variaile. - La fonction hypergéoraétrique d’une variable définie par la série

a été étudiée, depuis Gauss, par un grand nombre de géomètres; elle comprend, comme cas particuliers, la plupart des fonctions élémentaires, et les relations auxquelles elle satisfait fournissent, comme l’a montré Gauss, une méthode générale pour le développement de ces fonctions en fractions continues algébriques ; cette fonction hypergéométrique joue un rôle important dans beaucoup de questions de Mathématiques pures et appliquées, notamment dans la théorie des fonctions sphériques et dans plusieurs développements en séries employés en Mécanique céleste; elle vérifie une équation différentielle linéaire du second ordre qui peut lui servir de définition, et c’est en se plaçant à ce point de vue que Riemann a étudié la fonction F(a, |3 ,y, x) dans un Mémoire qui contient les germes de la théorie des équations différentielles linéaires, telle qu’elle a été développée depuis par M.Fuchs; enfin, g'et/«désignant deux des quatre quantités q, i, ^j.co, cette fonction peut être représentée par des intégrales définies de la forme

étudiées par Euler dans le cas "• = o, /« = i, et par Jacobi dans les autres cas ; c’est en partant de ces intégrales que Jacobi a trouvé, par des transformations faciles, toutes les solutions de l’équation différentielle de la série hypergéométrique indiquées par Gauss et Kümmer.

La théorie de la série hypergéométrique de Gauss est dans un rapport

étroit avec celle des intégrales eulériennes qui ont été étudiées à tant de points de vue différents. J’ai obtenu une formule très générale comprenant, comme cas particuliers, un grand nombre d’intégrales définies, exprimables à l’aide de l’intégrale eulérienne T, entre autres les intégrales eulériennes de première espèce et les intégrales qui se présentent dans la théorie des polynômes de Legendre et de Jacobi. J’ai montré, en effet (8), que l’intégrale définie

F(c<, P, Y, F{a 4- n, ? - «, y, *) dx,

où n désigne une constante quelconque, s’exprime au moyen de la fonction r, du moment qu’elle est finie; si la constante n est nulle, cette intégrale s’exprime au moyen de la fonction eulérienne T et de sa dérivée. Parmi les applications de cette formule générale, je donne d’abord (12) la détermination des coefficients du développement de la fonction hypergéométrique F(x, p, y, x) de Gauss, on série de polynômes de Jacobi,

où m est un entierpositif, polynômes représentés par une formule de Jacobi analogue à celle que O. Rodrigues a donnée pour les polynômes de Legendre ; les coefficients de ce développement ont des valeurs fort simples. Puis, supposant m et m' quelconques (non entiers), je calcule (12) l’intégrale

qui, d’après Jacobi, est nulle lorsque m et m 'sont des entiers différents; je montre que cette intégrale est encore nulle, quand m et m'sont deux racines distinctes d’une équation transcendante, dont le premier membre s’exprime à l’aide de là fonction P et dont le second membre est une constante arbitrairement choisie ; lorsque l’on prend m = m', l’intégrale est évidemment différente de zéro; je donne alors sa valeur. On peut déduire de là la détermination des coefficients A,„ du développement d’une fonction en série de la forme SA„X„, la sommation étant étendue aux valeurs de m qui sont racines de l’équation transcendante citée plus haut; on sait que certains problèmes de Physique conduisent à des développements de ce genre. Peu de temps après leur publication, ces résultats ont été généralisés par M. Callandreau {Comptes rendus, i4 juillet 1879).

système d’équations, des théorèmes analogues aux précédents, avec cette différence qu’un système fondamental d’intégrales est formé de trois fonctions au lieu de quatre. Ces équations admettent un grand nombre d’intégrales exprimables à l’aide de la fonction F,, par des formules telles que F,(X, v, t, ('),

t et t désignant des fonctions rationnelles et du premier degré de x ety. J’ai indiqué beaucoup de ces intégrales, et M. Goursat ('), en étudiant la question d’une manière systématique, en a trouvé jusqu’à soixante.

Pour achever le résumé des principales propriétés des fonctions hypergeométriques de deux variables, il nous reste à dire un mot des polynômes qui s’y rattachent. On peut exprimer, à l’aide de la fonction Fj, les polynômes que M. Hermite a indiqués comme généralisation des polynômes de Legendre et des polynômes cos(narccosa;) (^Comptes rendus, t. LX) et qui ont été étudiés par Didon (t. V, VI, VII des Annales de l’École Normale), et les polynômes que j’ai formés (61)

àx”' dy" ’

analogues aux polynômes de Jacobi; ainsi

C désignant une constante connue. Ces polynômes possèdent des propriétés semblables à celles des polynômes de M. Hermite et des fonctions Y, de Laplace ; la propriété fondamentale est que l’intégrale double ffxy-'yr-<V,„,.V„,dxdy,

étendue à l’aire du triangle limité par les trois droites a: = 0,7 = 0, X -hy — 1 = 0, est nulle, tant que m n est différent de p. -1- v; cette intégrale, au contraire, n’est pas nulle quand m -I- n = p -t- v, et j’indique alors sa valeur. Ces formules permettent de calculer les coefficients du développement d’une fonction de deux variables æ et 7 en série procédant suivant les polynômes U„,„. Le calcul se simplifie par l’introduction d’un polynôme adjoint exprimable aussi à l’aide de la fonction Fj. Les mêmes propositions s’étendent à des polynômes définis d’une façon plus générale, en ajoutant, dans les polynômes U,„,„, le facteur (, æ -7)^ en avant du signe de diffé-

posée par M. Tisserand ( ' ) au sujet d’un développement employé en Mécanique céleste (“).

Soit P™ (p, z) le polynôme de degré N en s qui forme U coefficient de 6" dans le déoeloppemenl de (i - aOz -i- 0=)^ effectué suivant les puissances positives de 6; il s’agit de trouver une formule générale donnant le développement du polynôme P"" {p, z) suivant les cosinus des multiples de x et y, quand on pose z = p.cos* + vcosy.

M. Tisserand détermine le coefficient Bÿ de 4costæcosyy pour les valeurs p= 2,p = 3; et de plus, il montre que, si p est de la forme aq + 3, q entier, le coefficient B’"''’s’exprime à l’aide d’un polynôme hypergéométrique du second ordre. En calculant directement le coefficient général B!')", j’ai fait voir (39) que, quels que soient le nombre p et les constantes p etv, ce coefficient s’exprime à l’aide d’une de mes fonctions hypergéométriques de deux variables par la formule

le facteur C étant une constante dont je donne la valeur; le développement de la fonction F,, qui figure dans cette expression, s’arrête de lui-même, car le second élément est un entier négatif. Dans la séance du 19 novembre 1883, M. Radau a communiqué à l’Académie une méthode permettant d’établir rapidement cette même formule. Mais, dans l’application à la Mécanique céleste, que M. Tisserand avait en vue, (ji et v ne sont pas indépendantes et l’on a

Il est donc important de rechercher quelles simplifications cette relation entre p. et v apporte à l’expression du coefficient B":'’. Dans les cas signalés par M. Tisserand, cette relation permet de réduire le coefficient Bî^’f à un polynôme hypergéométrique d’une seule variable du premier ou du second ordre, et, dans ces cas, le coefficient By considéré comme fonction de J satisfait à une équation différentielle linéaire du deuxième ou du troisième

ordre. M. Callandreau a montré {Comptes rendus, séance du 26 novembre i883) que, dans le cas général, le coefficient Bf/, considéré comme fonction de J, vérifie une équation différentielle linéaire du troisième ordre, qu’il n’a d’ailleurs pas formée complètement. Au moment où M. Callandreau a publié cette Note, j’étais de mon côté, en suivant les conseils de M. Tisserand, arrivé à ce même résultat. Je forme (63) cette équation et j’indique les cas dans lesquels elle se réduit au second ordre ou peut être ramenée à celle de la série hypergéométrique d’ordre supérieur F (a, b, c,d, e, x).

Dans toutes mes recherches sur mes fonctions hypergéométriques de deux variables, je me suis principalement placé au même point de vue qu’Euler, Gauss, Jacobi, en m’efforçant de montrer que ces fonctions constituent bien l’extension de la fonction de Gauss. Les recherches que M. Picard a faites

nière de voir. De même que Riemann définit la fonction hypergéométrique de Gauss par ses trois points critiques et les exposants correspondants, M. Picard (' ) s’est proposé de définir d’une façon analogue certaines fonctions de deux variables indépendantes : il retrouve ainsi une de nos fonctions hypergéométriques de deux variables, la fonction F,. M. Goursat a montré ensuite (“) que les séries F, et F, sont susceptibles d’une définition analogue.