FONCTIONS PARTICULIÈRES

Fonctions analogues aux fonctions circulaires. — Les fonctions circulaires se présentent comme formant la partie réelle et le coefficient de i dans le développement de ; ce fait m’a conduit (4) à étudier les trois fonctions de deux variables 0 et 9 qui naissent du développement de l’exponentielle où a et a“ sont les racines cubiques de l’unité. Les propriétés

de ces fonctions permettent de concevoir un calcul de quantités complexes dans l’espace, semblable au calcul des imaginaires dans le plan. A cette occasion, il se présente des systèmes de trois familles de surfaces, telles que les plans tangents en un point commun à trois surfaces, appartenant res-

tion uniforme qui admet la période o> et se reproduit multipliée par une fonction elliptique aux périodes m et Mj, quand on fait croître æ de m,. Le cas particulier, où les périodes w, et m, sont égales, avait été considéré antérieurement par M. Picard ('); j’indique, pour ce cas, une relation intéressante entre la fonction O et la dérivée d’une fonction 0 par rapport à une période.

Périodicité générale. — Une fonction d’une variable x est périodique, lorsqu’elle ne change pas de valeur, quand on fait l’opération qui consiste à

beaucoup plus général, en considérant des fonctions d’une variable a: qui ne changent pas de valeur, quand on fait, sur x, une opération déterminée 9(x), par exemple quand on élève x au carré, [9(0;) = »“]. La fonction aj{x) étant donnée, pour obtenir des fonctions possédant cette propriété, je forme des séries qui, lorsqu’elles sont convergentes, conservent la même somme quand on y remplace x par 9(®); ces séries sont construites de telle façon que le changement de x en 9(3;) change chacun de leurs termes en un autre. J’indique (10), comme exemple, les cas où 9(æ) a l’une des deux valeurs x^ouæ” — i. Me proposant ensuite (U ) de traiter un cas 0Ù9(æ)est une fonction transcendante, j’ai supposé 9(3;) = sin -x, et, pour simplifier le calcul, j’ai modifié la méthode générale. Ma méthode permet également de former une fonction de x, se reproduisant multipliée par un facteur ([/(æ) donné d’avance, quand x se trouve remplace par 9(æ); il suffit, pour cela, de multiplier ou de diviser le terme général de mes séries par une espèce de factorielle. Ces nouvelles fonctions, qui constituent une sorte de généralisation des fonctions périodiques de seconde espèce, se présentent, comme je l’ai montré (27), dans l’intégration de certaines équations différentielles linéaires. A la suite des deux Notes que j’ai publiées sur ees fonctions, M. Rausenberger a fait une étude intéressante de la périodicité générale dans les Mathematische Annalen, de l’année 188 r.

Sur les fonctions uniformes de deux points analytiques, qui sont laissées invariables par une infinité de transformations rationnelles. — Les fonctions fuchsiennes de M. Poincaré sont des fonctions d’une variable laissées invariables par une infinité de substitutions linéaires; M. Picard a étudié des

fonctions de deux variables possédant cette même propriété. Je démontre qu’il ne peut pas exister de fonctions uniformes d’un seul point analytique d’une courbe du premier genre qui remplissent des conditions analogues. On se demande alors s’il ne serait pas possible de former des fonctions uniformes de deux points analytiques {x,y), (a:',y), appartenant à une courbe du premier genre, qui gardent la même valeur, quand on remplace les deux points (x,y), (x',y') par deux autres points (x,,y,), (x\,y\) déduits des premiers par une transformation rationnelle réversible ; c’està-dire une transformation telle qiie, les deux points (x,y), (x',y') étant

sont déterminées par des équations du second degré ayant pour coefficients des fonctions rationnelles de (x,y), (x',y'), et réciproquement. Je forme (.38) des fonctions de cotte nature, en m’appuyant sur un problème d’inversion résolu par Rosenhain et sur les propriétés des fonctions abéliennes. La transformation rationnelle réversible, qui n’altère pas les nouvelles fonctions, est susceptible d’une interprétation géométrique simple.