MÉCANIQUE RATIONNELLE. - PHYSIQUE MATHÉMATIQUE

Sur une interprétation des valeurs imaginaires du temps dans les problèmes de Mécanique. — On sait que les fonctions elliptiques donnent la solution complète du problème du pendule simple, en permettant d’exprimer le sinus et le cosinus de l’angle d’écart par des fonctions uniformes du temps, aisées à calculer numériquement. Ces fonctions admettent une période réelle T qui est la durée de l’oscillation et une période imaginaire de la forme îT' qui, au premier moment, ne paraît pas avoir de signification mécanique. Or cette période imaginaire s’interprète de la façon la plus simple (9) : si le pendule était placé dans la même position initiale et la pesanteur changée do sens, c’est-à-dire dirigée vers le haut, le pendule oscillerait sur l’arc supérieur de la circonférence qu’il décrit, et la durée do l’oscillation serait précisément T'. Cette interprétation résulte du théorème général suivant ;

Étant donné un système de points matériels assujettis à des liaisons indépendantes du temps t et soumis à des forces qui ne dépendent que des positions des différents points, les intégrales des équations différentielles du mouvement de ce système restent réelles si l’on y remplace t par t et les projections des vitesses initiales a*, §*, y* par — i,

— I, — Y* Les expressions ainsi obtenues sont les équations du nouveau mouvement que prendraient les mêmes points matériels si, placés dans les mêmes conditions initiales, ils étaient sollicités par des forces respectivement égales et opposées à celles qui produisaient le pre-

Réductiou à la forme canonique des équations d’équilibre d’un fil flexible et inextensible. — L’analogie de la théorie de l’équilibre d’un fil flexible et inextensible avec celle du mouvement d’un point matériel a été signalée depuis longtemps, notamment par M. Bonnet. Partant de ce point, je me suis

proposé d’élendre, aux équations d’équilibre des fils les beaux théorèmes de Jacobi sur les équations canoniques d’Hamilton, Je montre d abord (36) comment on peut réduire à la forme canonique les équations d équilibré d’un fil libre ou situé sur une surface, et appliquer, à ces équations, des théorèmes analogues à ceux de Jacobi; je démontre en particulier (76) le théorème suivant, qui donne la figure d’équilibre d’un fil flexible et inextensible entièrement libre, dans l’hypothèse qu’il existe une fonction dos forces U(tr,7,z):

Considérons l’équation aux dérivées partielles

qui définit 0 comme fonction de x, y, z, et supposons que l’on ait trouvé une intégrale complète&(x, y, z, a, [3, It) de celte équation, avec Us deux constantes arbitraires a et ^ distinctes de h et de la constante que l’on peut toujours ajouter à 0. Les intégrales des équations d’équilibre sont

d, h' étant de nouvelles constantes et s désignant l’arc de la courbe d’équilibre compté positivement dans un sens convenable.

Chaînette sphérique. — L’analogie entre les propriétés de l’équilibre des fils et celles du mouvement d’un point matériel se retrouve jusque dans certains faits très particuliers. C’est ainsi que la recherche de la figure d’équilibre d’une chaînette homogène pesante sur une sphère peut être effectuée par une méthode toute semblable à celle que M. Hermite a employée pour exprimer, en fonction uniforme du temps, les coordonnées d’un point pesant mobile sur une sphère {Journal de Crelle, t. 85). On trouve (83) que les coordonnées d’un point de la chaînette sphérique et l’arc de cette courbe peuvent être exprimés en fonction uniforme d’un paramètre, à l’aide des fonctions 0 et n de Jacobi; en faisant les calculs, on rencontre et l’on Intègre une équa-

mobile dans un plan fixe sous l’action de forces données. Si on laisse de côté le problème des cordes vibrantes et, en général, la théorie des oscillations infiniment petites, le problème du mouvement d’une chaîne dans un plan a été peu étudié. Les résultats les plus importants et les plus simples sur ce sujet sont dusà M. Resal ( Traité de Mécanique générale, t. I, p. Sur et suiv.). M. Resal forme deux équations simultanées aux dérivées partielles, de l’intégration desquelles,dépend la solution du problème; puis il ajoute que l’éhmination de la tension entre ces deux équations conduit à une équation aux dérivées partielles du sixième ordre. En employant un système de coordonnées tangentielles, j’arrive (47) à ramener la solution du problème à l'intégration d’une équation aux dérivées partielles du quatrième ordre seulement. Voici une analyse rapide de la méthode suivie. A l’instant t la chaîne est disposée suivant une certaine courbe ; appelons « l’angle que fait la tangente à cette courbe, en un point, avec l’axe Oæ, et S la distance de cette tangente à l’origine des coordonnées ; cette distance S sera une fonction des deux variables indépendantes a et <; je prends alors, pour fonction inconnue p, une fonction dont la dérivée partielle par rapport à a est S. C’est cette fonction p des deux variables a et t qui vérifie une équation aux dérivées partielles du quatrième ordre; une fois p connu, les expressions des coordonnées x et y d’un point de la courbe, de l’arc s et de la tension s’obtiennent très aisément.

A toute intégrale particulière de l’équation aux dérivées partielles correspond un mouvement possible du fil, à condition que la tension soit positive. Par exemple, en supposant que la force extérieure dépende uniquement do la position de l’élément du fil, on retrouve, pour les courbes planes, le résultat de M. Léauté (*) relatif à la figure de repos apparent d’une corde en mouvement dans l’espace. Il suffit, pour cela, de chercher à vérifier l’équation par une intégrale particulière de la forme (p(œ) h- 4 '(0! on trouve ainsi que le glissement du fil est uniformément accéléré, et que la figure de repos apparent est la figure d’équilibre que prendrait le fil si la composante tangentielle de la force était augmentée d’une constante. M. Léauté, se plaçant au point de vue pratique, n’a considéré que le cas où le glissement est uniforme. Je résous le même problème, en supposant le. fil hétérogène, puisje'trouve (59) les mouvements qui peuvent être représentés par un glissement le long d’une courbe animée d’un mouvement de trans-

lation ou de rotation, ou restant homothétique d’elle-même, etc.... Toutes ces questions sont traitées par un procédé uniforme et ramenées à un même problème d’Analyse. Enfin ma méthode se prête facilement à l’étude des oscillations infiniment petites autour d’une position d’équilibre stable.

De l’homographie en Mécanique. — « La découverte des principes de proyectio/iccntrafe marque incontestablement uneépoque importante dansl’histoire delà Géométrie moderne. Les méthodes fondées sur ces principes possèdent un caractère à la fois intuitif et systématique, qui les rend également propres à découvrir de nouvelles propriétés des figures et à rattacher tout un ensemble de propositions à une même vérité générale ( ' ). » Il m’a paru intéressant de montrer que ces mêmes principes peuvent être appliqués, en Mécanique, au mouvement d’un ou de plusieurs points libres sollicités par des forces qui ne dépendent que des positions des points. On peut, par exemple, à l’aide de la transformation homographique, rattacher les unes aux autres des questions de Mécanique en apparence differentes, comme le mouvement d’un point attiré par un centre fixe proportionnellement à la distance et le mouvement d’un point attiré par un plan fixe en raison inverse du cube de la distance. Je vais expliquer la transformation pour le cas le plus simple possible, c’est-à-dire pour le mouvement d’un point matériel M, dans un plan fixe, sous l’action d’une force F dépendant seulement de la position du mobile. Si l’on fait, sur les coordonnées æ et y du point M, une transformation homographique par les formules connues

en remplaçant le temps t par une autre variable liée à t par la relation

on trouve (52) que le point M, de coordonnées ety, se meut, dans le temps comme un point matériel sollicité par une force F, dépendant uniquement de la position du mobile; la trajectoire du second point M, est la transformée homographique de celle du premier M; la force F, se déduit de F d’une manière simple, sa direction est la transformée homogror phique de la direction de la force F. Il résulte de cette dernière propriété

D, Applications d’Analyse i

que, si la force F est centrale ou parallèle à une direction fixe la force F passe aussi par un point fixe à distance finie ou infinie. Notre transformation comprend, comme cas particulier, deux transformations que M Halphen a indiquées (' ) pour conclure des lois de force bien connues (attraction proportionnelle à la distance ou inversement proportionnelle au carré de la distance), les lois de force signalées par MM. Darboux et Halphen, comme étant les plus générales qui font décrire à leur point d’application une conique, quelles que soient les conditions initiales. On doit se demander maintenant s’il existe, en Mécanique comme en Géométrie des transformations plus générales que la transformation homographique, qui seraient obtenues en remplaçant les fonctions linéaires figurant dans les formules précédentes par d’autres fonctions des coordonnées x et y. On arrive (79), par un calcul un peu long, à cette conclusion intéressante ; si la nouvelle force F, doit dépendre uniquement de la position du mobile M,, quelle que soit la force F, la seule transformation réalisant cette condition est la transformation homographique. Ces considérations peuvent être étendues au mouvement d’un point dans l’espace et même au mouvement de plusieurs points, à condition de faire, dans ce dernier cas, une transformation homographique générale contenant à la fois les coordonnées de tous les points.

Potentiel. — L’étude que j’ai faite des fonctions vérifiant l’équation du potentiel m’a permis de résoudre quelques problèmes de Physique mathématique. J’ai d’abord (42) résolu (en commun avec M. Chervet) le problème de la distribution du potentiel dans une masse liquide ayant la forme d’un prisme rectangulaire indéfini, dans l’hypothèse que les électrodes d’une pile se trouvent en deux points du liquide et qu’un régime permanent soit établi. L’expression de ce potentiel s’obtient aisément, au moyen do l’extension du théorème de M. Mittag-Leffler aux fonctions vérifiant l’équation différentielle du potentiel (57). J’ai reconnu ensuite que l’on peut appliquer la même méthode au cas où la masse liquide aurait la forme d’un parallélépipède rectangle, les électrodes se trouvant en des points quelconques delà masse. Ces résultats sont susceptibles d’une grande extension (58) et fournissent ainsi une application, à la Physique mathématique, des propositions que j’avais obtenues en poursuivant l’analogie entre les fonctions qui vérifient l’équation différentielle du potentiel et les fonctions

d’une variable imaginaire. Ces applications comprennent, entre autres, la détermination de la fonction de Green pour un parallélépipède rectangle d’après Riemann, le calcul des vitesses dans l’écoulement d’un liquide par le fond d’un vase prismatique, tel que l’ont donné MM. Boussinesq, de Saint- Venant et Flamant. J’arrive à résoudre ces mêmes problèmes pour tous les volumes limités par un polyèdre possédant la propriété suivante : si l’on prend les symétriques du polyèdre par rapport à chacune de ses faces, puis les symétriques des nouveaux polyèdres par rapport à chacune de leurs faces, et ainsi de suite indéfiniment, les polyèdres en nombre infini ainsi obtenus ne pénètrent pas les uns dans les autres. Dans toutes ces applications, le seul élément analytique nouveau qu’il soit nécessaire d’introduire est la fonction que j’ai appelée Z{x,y, z), ou les fonctions plus simples auxquelles elle se réduit, quand un ou deux groupes de périodes deviennent